Question

已知S_n是數(shù)列{a_n}前項和，且a_n＞0，對?n∈N^*，總有S_n=

1

2

（a_n+

1

an

），則a_n=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,數(shù)列的求和

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系，求出數(shù)列{a_n}的前幾項，即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵a_n＞0，對?n∈N^*，總有S_n=

1

2

（a_n+

1

an

），
∴2S_n=a_n+

1

an

，
當(dāng)n=1時，a₁=

1

2

（a₁+

1

a1

），即a₁=

1

a1

，
∵a_n＞0，∴a₁=1，
當(dāng)n=2時，2（1+a₂）=a₂+

1

a2

，
即2+a₂-

1

a2

=0，
即（a₂）²+2a₂-1=0，
則a₂=

-2± 4+4

2

=

-2±2 2

2

=-1±

2

，
∵a_n＞0，∴a₂=-1+

2

=

2

-1．
當(dāng)n=3時，2（1+

2

-1+a₃）=a₃+

1

a3

，
即（a₃）²+2

2

a₃-1=0，
則a₃=

-2 2 ± 8+4

2

=

-2 2 ±2 3

2

=-

2

±

3

，
∵a_n＞0，∴a₃=-

2

+

3

=

3

-

2

．
則由歸納推理可得a_n=

n

-

n-1

，
故答案為：

n

-

n-1

點(diǎn)評：本題主要考查數(shù)列通項公式的求解．根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系，結(jié)合歸納推理是解決本題的關(guān)鍵．