Question

已知三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且各側(cè)棱長(zhǎng)都等于a，底面為正三角形
（1）若三棱錐的全面積為3+

3

，求a的值；
（2）若該三棱錐的外接球的表面積為3π，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積和表面積,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）根據(jù)幾何性質(zhì)，列方程：

3a2

2

+

3

2

a2=3+

3

，（2）把三棱錐鑲嵌在正方體中，棱長(zhǎng)為a，求出體對(duì)角線(xiàn)

3

a，運(yùn)用2R=

3

a求出半徑即可得到答案．

解答： 解：（1）∵三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且各側(cè)棱長(zhǎng)都等于a，底面為正三角形
∴底面邊長(zhǎng)為

2

a，
∴三棱錐的全面積為：

3a2

2

+

3

2

a2，
∵全面積為3+

3

，
∴a²=2，a=

2

，
（2）三棱錐的外接球的半徑為R，
∵把三棱錐鑲嵌在正方體中，棱長(zhǎng)為a，
∴體對(duì)角線(xiàn)

3

a，
∴2R=

3

a，
∵外接球的表面積為3π
∴R=

3

2

，
∴2×

3

2

=

3

a，a=1
故a的值為1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了幾何體的性質(zhì)，運(yùn)用求解表面積，屬于中檔題．