Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，橢圓C上一點到焦點的最小值為

2

-1．
（1）求a，b的值；
（2）已知F₁、F₂為橢圓C的兩個焦點，AB是過焦點F₁的一條動弦，求△ABF₂的面積最大值．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由橢圓C的離心率為

2

2

，橢圓C上一點到焦點的最小值為

2

-1．可得

a-c= 2 -1 c a = 2 2 b2=a2-c2

，解出即可；
（2）由（1）可得橢圓C的方程為：

x2

2

+y2=1．AB：y=kx-1代入橢圓C的方程得：（k²+2）x²-2kx-1=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得|y₂-y₁|，再利用S△ABF2=

1

2

|F1F2|•|y2-y1|和基本不等式即可得出．

解答： 解：（1）由橢圓C的離心率為

2

2

，橢圓C上一點到焦點的最小值為

2

-1．
可得

a-c= 2 -1 c a = 2 2 b2=a2-c2

解得a=

2

，b=1=1
（2）由（1）可得橢圓C的方程為：

x2

2

+y2=1．
AB：my=x+1代入橢圓C的方程得：（m²+2）y²-2my-1=0，
∴y₁+y₂=

2m

m2+2

，y1y2=

-1

m2+2

．∴|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

( 2m m2+2 )2+ 4 m2+2

=2

2

•

m2+1

m2+2

∴S△ABF2=

1

2

|F1F2|•|y2-y1|=

1

2

×2×2

2

•

m2+1

m2+2

=2

2

×

1

m2+1 + 1 m2+1

≤

2 2

2

，當(dāng)且僅當(dāng)m=0時取等號，
∴(S△ABF2)max=

2

．

點評：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、三角形的面積計算公式、基本不等式等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．