在△ABC中,a、b、c分別是角A、B、C的對邊,
m
=(2b-
3
c,cosC),
n
=(
3
a,cosA),且
m
n

(Ⅰ)求角A的大小;
(Ⅱ)求2cos2B+sin(A-2B)的最小值.
分析:(Ⅰ)根據(jù)
m
n
和兩向量的坐標(biāo)可求得(2b-
3
c)•cosA-
3
acosC=0
,利用正弦定理把邊轉(zhuǎn)化成角的正弦,然后利用兩角和公式化簡整理求得cosA的值,進(jìn)而求得A
(Ⅱ)把A的值代入,利用兩角和公式整理后,利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求得2cos2B+sin(A-2B)的最小值.
解答:解:(Ⅰ)由
m
n
(2b-
3
c)•cosA-
3
acosC=0

由正弦定理得2sinBcosA-
3
sinCcosA-
3
sinAcosC=0
,2sinBcosA-
3
sin(A+C)=0

2sinBcosA-
3
sinB=0

∵A,B∈(0,π),
∴sinB≠0,cosA=
3
2
,
A=
π
6


(Ⅱ)解:∵A=
π
6

∴2cos2B+sin(A-2B)=1+cos2B+sin
π
6
cos2B-cos
π
6
sin2B

=
3
cos(2B+
π
6
)+1
,
2cos2B+sin(A-2B)∈(1-
3
,1)

2cos2B+sin(A-2B)的最小值為1-
3
.
點(diǎn)評:本題主要考查了三角形中的幾何計算,正弦定理的應(yīng)用和兩角和公式的化簡求值.注意綜合運(yùn)用三角函數(shù)的基礎(chǔ)公式,靈活解決三角形的計算問題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中,∠A、∠B、∠C所對的邊長分別是a、b、c.滿足2acosC+ccosA=b.則sinA+sinB的最大值是( 。
A、
2
2
B、1
C、
2
D、
1+
2
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中,a<b<c,B=60°,面積為10
3
cm2,周長為20cm,求此三角形的各邊長.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中,a,b,c分別為角A,B,C的對邊,已知
.
m
=(cos
C
2
,sin
C
2
)
.
n
=(cos
C
2
,-sin
C
2
)
,且
m
n
=
1
2

(1)求角C;
(2)若a+b=
11
2
,△ABC的面積S=
3
3
2
,求邊c的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中,A,B,C為三個內(nèi)角,若cotA•cotB>1,則△ABC是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知y=f(x)函數(shù)的圖象是由y=sinx的圖象經(jīng)過如下三步變換得到的:
①將y=sinx的圖象整體向左平移
π
6
個單位;
②將①中的圖象的縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)縮短為原來的
1
2
;
③將②中的圖象的橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)伸長為原來的2倍.
(1)求f(x)的周期和對稱軸;
(2)在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對邊,且f(C)=2,c=1,ab=2
3
,且a>b,求a,b的值.

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