Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-x（e為自然對數(shù)的底數(shù)）
（Ⅰ）求f（x）的最小值；
（Ⅱ）若對于任意的x∈[0，2]，不等式f（x）＞ax恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）由已知得f′（x）=e^x-1，由此利用導數(shù)性質能求出f（x）的最小值．
（Ⅱ）由已知得c對于任意x∈[0，2]，不等式f（x）＞ax恒成立，由f（x）＞ax，得（a+1）x＜e^x，由此利用導數(shù)性質能求出實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=e^x-x，∴f′（x）=e^x-1，
令f′（x）＞0，解得x＞0，令f′（x）＜0，得x＜0，
∴f（x）在（-∞，0）內單調遞減，在（0，+∞）單調遞增，
∴當x=0時，f（x）取得極小值1．
（Ⅱ）∵不等式f（x）＞ax的解集為P，且{x|0≤x≤2}?P，
∴c對于任意x∈[0，2]，不等式f（x）＞ax恒成立，
由f（x）＞ax，得（a+1）x＜e^x，
當x=0時，上述不等式顯然成立，故只需考慮x∈（0，2]的情況，
將（a+1）x＜e^x變形為a＜

ex

x

-1，令g（x）=

ex

x

-1，
則g（x）的導數(shù)g′(x)=

(x-1)ex

x2

，
令g′（x）＞0，解得x＞1；令g′（x）＜0，解得0＜x＜1，
∴g（x）在（0，1）內單調遞減，在（1，+∞）內單調遞增，
∴當x=1時，g（x）取得最小值e-1，
從而實數(shù)a的取值范圍是（-∞，e-1）．

點評：本題考查函數(shù)的最小值的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意導數(shù)性質的合理運用．