Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），離心率為

1

2

，A₁，A₂是橢圓長軸的端點，長軸長為4，橢圓外一點M在直線x=-4上動，直線MA₁與橢圓的另一交點為P，直線MA₂與橢圓的另一交點為Q．
（1）求證：直線PQ過定點R，并求出R點坐標(biāo)；
（2）R點關(guān)于y軸的對稱點為S，直線QS與橢圓的另一交點為T，設(shè)

QR

=λ

RP

，

QS

=μ

ST

，求證：λ+μ為定值，并求出這個定值．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：證明題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：對于第（1）問，先求出橢圓C的方程，設(shè)M（-4，y₀），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），用y₀表示直線MP及MQ的方程，分別與橢圓方程聯(lián)立，得P，Q的坐標(biāo)，于是得直線PQ的方程，根據(jù)此方程及對稱性可探究定點坐標(biāo)；
對于第（2）問，先由R的坐標(biāo)及對稱性，得點S的坐標(biāo)，從而用y₀表示直線QS的方程，聯(lián)立橢圓的方程，可表示點T的縱坐標(biāo)，由

QR

=λ

RP

，

QS

=μ

ST

，分別得各向量縱坐標(biāo)的關(guān)系，用y₀表示λ，μ，算出λ+μ，即可達(dá)到目的．

解答： 解：（1）證明：由e=

c

a

=

1

2

及2a=4，得a=2，c=1，則b²=a²-c²=3，
所以橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1，不妨設(shè)A₁（-2，0），A₂（2，0）．
又設(shè)M（-4，y₀），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
易知MA₁的斜率為kMA1=

y0-0

-4+2

=-

y0

2

，則直線MP的方程為y=-

y0

2

(x+2)，
聯(lián)立橢圓方程，消去x，
得(3+y0)x2+4

y

2 0

x+4

y

2 0

-12=0，即[(3

+y

2 0

)x+

2y

2 0

-6](x+2)=0，
得x1=

6- 2y 2 0

3 +y 2 0

，從而y1=-

y0

2

(x1+2)=-

6y0

3 +y 2 0

，即P(

6- 2y 2 0

3 +y 2 0

，-

6y0

3 +y 2 0

)．
同理，得Q(

2y 2 0 -54

y 2 0 +27

，

18y0

y 2 0 +27

)．
（i）當(dāng)P，Q的橫坐標(biāo)不相同即

y

2 0

≠9時，直線PQ的斜率為kPQ=

6y0

y 2 0 -9

，
得直線PQ的方程為y+

6y0

3 +y 2 0

=

6y0

y 2 0 -9

(x-

6- 2y 2 0

3 +y 2 0

)，
由對稱性知，若直線PQ過定點，則此定點必在x軸上．
在上式中，令y=0，得x=-1，此時直線PQ過定點（-1，0）．
（ii）當(dāng)

y

2 0

=9時，直線PQ的方程為x=-1，PQ亦過點（-1，0）．
綜合（i）、（ii）知，直線PQ過定點R（-1，0）．
（2）證明：易知點S的坐標(biāo)為（1，0），設(shè)T（x₃，y₃）．
（i）當(dāng)

y

2 0

≠81時，QS的斜率為kQS=

18y0

y 2 0 -81

，從而直線QS的方程為y=

18y0

y 2 0 -81

（x-1），
聯(lián)立橢圓方程，消去x，得(27+

y

2 0

)(

3y

2 0

+729)y2+108(

y

2 0

-81)y-9×(18y0)2=0，
即[(27

+y

2 0

)y-18y0][

(y

2 0

+243)y+54y0]=0，得y3=-

54y0

y 2 0 +243

．
由

QR

=λ

RP

，得-

18y0

27+ y 2 0

=λ•(-

6y 2 0

3 +y 2 0

)，即λ=

9+ 3y 2 0

27 +y 2 0

．
同理，由

QS

=μ

ST

，得μ=

y 2 0 +243

3(27+ y 2 0 )

．于是λ+μ=

3(9+3 y 2 0 )+ y 2 0 +243

3(27+ y 2 0 )

=

10( y 2 0 +27)

3(27+ y 2 0 )

=

10

3

．
（ii）當(dāng)

y

2 0

=81時，易知，λ=

7

3

，μ=1，也有λ+μ=

10

3

．
綜上知，λ+μ為定值，且這個定值為

10

3

．

點評：1．本題屬橢圓中的定點與定值問題，綜合性強(qiáng)，對能力的要求較高，且計算量較大，考查了直線與橢圓的相交關(guān)系，值得注意的是，當(dāng)直線的傾斜程度不確定時，應(yīng)討論斜率不存在的情況．
2．處理直線過定點問題的常見思路是：先引入?yún)��?shù)，再用參數(shù)表示直線方程，從此方程中探求定點．
3．證明代數(shù)式為定值的常見思路是：先引入?yún)��?shù)，再運(yùn)用參數(shù)表示代數(shù)式，最后通過加、減、乘、除的方式消去參數(shù)，即引參、用參、消參．