Question

14．（1）若α+β=45°，求證：（tanα+1）（tanβ+1）=2；
（2）若（tanα+1）（tanβ+1）=2，求α+β的值．

Answer 1

分析 （1）由條件利用兩角和的正切公式化簡(jiǎn)等式的左邊，即可證得結(jié)論．
（2）由所給的等式利用兩角和的正切公式求得 tan（α+β）的值，可得α+β的值．

解答 （1）證明：∵α+β=45°，∴tan（α+β）=1，
∴（tanα+1）（tanβ+1）=tanβtanβ+（tanα+tanβ）+1=tanβtanβ+tan（α+β）（1-tanαtanβ）+1
=tan（α+β）+1=2．
（2）解：若（tanα+1）（tanβ+1）=tanβtanβ+（tanα+tanβ）+1=2，
則 tanα+tanβ=1-tanβtanβ，即 tan（α+β）（1-tanβtanβ ）=1-tanβtanβ，
∴tan（α+β）=1，∴α+β=kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩角和的正切公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．