Question

求(x-1＋)⁵的展開(kāi)式中含x的項(xiàng)．

 

Answer 1

答案：
解析：

解法一：∵(x-1＋)5=[(x2-x)＋1]5, ∴要求展開(kāi)式中含x的項(xiàng)，只需求[(x2-x)＋1]5中含x6的項(xiàng)． ∵[(x2-x)＋1]5＝(x2-x)＋5(x2-x)4＋10(x2-x)3＋10(x2-x)2＋5(x2-x)＋1， ∴只有(x2-x)5，5(x2-x)4與10(x2-x)3中才可能含有x6的項(xiàng)． 又(x2-x)5＝x5(x-1)5，展開(kāi)式中x6的系數(shù)為C=5, 5(x2-x)4＝5x4(x-1)4，展開(kāi)式中x6的系數(shù)為5C=30, 10(x2-x)3＝10x3(x-1)3，展開(kāi)式中x6的系數(shù)為10． ∴原式的展開(kāi)式中含x的項(xiàng)為(5＋30＋10)x＝45x． 解法二：∵(x-1＋)5=(x-1＋)·（x-1＋）·（x-1＋）·（x-1＋）·（x-1＋）, 由多項(xiàng)式的乘法法則，從以上5個(gè)括號(hào)中一個(gè)括號(hào)內(nèi)出現(xiàn)x，其他四個(gè)括號(hào)出現(xiàn)常數(shù)項(xiàng)，則積為x的一次項(xiàng)，此時(shí)系數(shù)為C·1·C（-1）4=5． 同理，有兩個(gè)括號(hào)出現(xiàn)x，一個(gè)括號(hào)出現(xiàn),兩個(gè)括號(hào)出現(xiàn)常數(shù)項(xiàng)，積也為x的一次項(xiàng)，此時(shí)系數(shù)為C=30,同理有3個(gè)括號(hào)出現(xiàn)x，2個(gè)括號(hào)出現(xiàn),積也為x的 一次項(xiàng)，此時(shí)系數(shù)為C 綜上，x的一次項(xiàng)為(5＋30＋10)x＝45x． 點(diǎn)評(píng)：此類問(wèn)題通常有兩個(gè)解法，化三項(xiàng)為二項(xiàng)及乘法法則，此題涉及到排列、組合知識(shí)的綜合運(yùn)用．