Question

已知曲線y=x-

1

x

（x∈[1，2]）的兩個(gè)端點(diǎn)為A，B，過曲線上任意一點(diǎn)P作x軸的垂線交線段AB于點(diǎn)Q，若不等式|PQ|≤

1

2

k-

2

對x∈[1，2]恒成立，則實(shí)數(shù)k的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：判斷y=x-

1

x

（x∈[1，2]）的單調(diào)性，求出|PQ|的最大值，然后求解k的最小值即可．

解答： 解：函數(shù)y=x-

1

x

（x∈[1，2]）是增函數(shù)，
過曲線上任意一點(diǎn)P作x軸的垂線交線段AB于點(diǎn)Q，|PQ|≤f（2）=2-

1

2

=

3

2

．
不等式|PQ|≤

1

2

k-

2

對x∈[1，2]恒成立，
也就是k≥2|PQ|+2

2

在x∈[1，2]恒成立，
∵|PQ|的最大值為：

3

2

．
∴實(shí)數(shù)k的最小值為：3+2

2

．
故答案為：3+2

2

．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)恒成立問題，以及函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．