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過橢圓的左焦點F任作一條與兩坐標軸都不垂直的弦AB，若點M在x軸上，且使得MF為△AMB的一條內角平分線，則稱點M為該橢圓的“左特征點”．

(1)求橢圓的“左特征點”M的坐標；

(2)試根據(1)中的結論猜測：橢圓的“左特征點”M是一個怎樣的點？并證明你的結論．

答案：
解析：

　　解：(1)設為橢圓的左特征點，橢圓的左焦點為，可設直線的方程為．并將它代入得：，即．設，則，

　　∵被軸平分，∴．即．

　　即，∴．

　　于是．∵，即．

　　(2)對于橢圓．于是猜想：橢圓的“左特征點”是橢圓的左準線與軸的交點．

　　證明：設橢圓的左準線與軸相交于M點，過A，B分別作的垂線，垂足分別為C，D．

　　據橢圓第二定義：∵

　　于是即．∴，又均為銳角，∴，∴．

　　∴的平分線．故M為橢圓的“左特征點”


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知離心率為
3
2
的橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上的點到左焦點F的最長距離為
3
+2．
（1）求橢圓的方程；
（2）如圖，過橢圓的左焦點F任作一條與兩坐標軸都不垂直的弦AB，若點M在x軸上，且使得MF為△AMB的一條內角平分線，則稱點M為該橢圓的“左特征點”，求橢圓的“左特征點”M的坐標．

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科目：高中數學 來源：2007屆東莞市高三理科數學高考模擬題(四) 題型：044

過橢圓的左焦點F任作一條與兩坐標軸都不垂直的弦AB，若x軸上的定點M，總能使得MF為△AMB的一條內角平分線，則稱點M為該橢圓的“左特征點”．

①求橢圓的“左特征點”M的坐標；0

②試根據①中的結論猜測：橢圓的“左特征點”M是一個怎樣的點？并證明你的結論

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科目：高中數學 來源： 題型：

（08年新建二中模擬）如圖，過橢圓的左焦點F任作一條與兩坐標軸都不垂直的弦AB，若點M在x軸上，且使得MF為△AMB的一條內角平分線，則稱點M為該橢圓的“左特征點”．
　　(1)求橢圓的“左特征點”M的坐標；
    (2)試根據(1)中的結論猜測：橢圓 的“左特征點”M是一個怎樣的點？并證明你的結論．

 

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科目：高中數學 來源：2011-2012年湖南省衡陽市高二第三次月考考試理科數學 題型：解答題

（ 9分）  如圖，過橢圓的左焦點F任作一條與兩坐標軸都不垂直的弦AB，若點M在x軸上，且使得MF為△AMB的一條內角平分線，則稱點M為該橢圓的“左特征點”．求橢圓的“左特征點”M的坐標；

 

 

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科目：高中數學 來源：2011-2012學年廣西桂林十八中高三（上）第二次月考數學試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

已知離心率為的橢圓上的點到左焦點F的最長距離為．
（1）求橢圓的方程；
（2）如圖，過橢圓的左焦點F任作一條與兩坐標軸都不垂直的弦AB，若點M在x軸上，且使得MF為△AMB的一條內角平分線，則稱點M為該橢圓的“左特征點”，求橢圓的“左特征點”M的坐標．

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