【題目】在三棱柱中，已知，點在底面的投影是線段的中點．

（1）證明：在側(cè)棱上存在一點，使得平面，并求出的長；

（2）求：平面與平面夾角的余弦值．

【答案】（1）證明見解析；．（2）．

【解析】

試題分析：（1）證明：作于點，由，又平面，易得平面 平面，由，

；（2）建立空間直角坐標系，求得平面的法向量是，

平面的法向量.

試題解析： （1）證明：連接，在中，作于點，因為，得，因為平面，所以，

因為，得，所以平面，所以，所以平面，

又，得．．．．．．．．．．．．．．5分

（2）如圖，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標系，則．

由得點的坐標是，

由（1）得平面的法向量是，

設平面的法向理，

由得，

令，得，即，

所以，

即平面與平面的夾角的余弦值是．．．．．．．．．．．．．．．．12分

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】橢圓與軸，軸的正半軸分別交于兩點，原點到直線的距離為，該橢圓的離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）過點的直線與橢圓交于兩個不同的點，求線段的垂直平分線在軸上截距的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某人在如圖所示的直角邊長為4米的三角形地塊的每個格點（指縱、橫直線的交叉點以及三角形頂點）處都種了一株相同品種的作物．根據(jù)歷年的種植經(jīng)驗，一株該種作物的年收獲（單位：）與它的“相近”作物株數(shù)之間的關(guān)系如下表所示：

1

2

3

4

51

48

45

42

這里，兩株作物“相近”是指它們之間的直線距離不超過1米．

（1）從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機選取一株作物，求它們恰好“相近”的概率；

（2）在所種作物中堆積選取一株，求它的年收獲量的分布列與數(shù)學期望．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓：，點.

（1）設是橢圓上任意的一點，是點關(guān)于坐標原點的對稱點，記，求的取值范圍；

（2）已知點，，是橢圓上在第一象限內(nèi)的點，記為經(jīng)過原點與點的直線，為截直線所得的線段長，試將表示成直線的斜率的函數(shù).

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】食品安全問題越來越引起人們的重視，農(nóng)藥、化肥的濫用對人民群眾的健康帶來一定的危害，為了給消費者帶來放心的蔬菜，某農(nóng)村合作社每年投入200萬元，搭建了甲、乙兩個無公害蔬菜大棚，每個大棚至少要投入20萬元，其中甲大棚種西紅柿，乙大棚種黃瓜，根據(jù)以往的種菜經(jīng)驗，發(fā)現(xiàn)種西紅柿的年收入種黃瓜的年收入與投入（單位：萬元）滿足.設甲大棚的投入為（單位：萬元），每年兩個大棚的總收益為（單位：萬元）

（1）求的值；

（2）試問如何安排甲、乙兩個大棚的投入，才能使總收益最大？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】記表示，中的最大值，如．已知函數(shù)，．

（1）設，求函數(shù)在上零點的個數(shù)；

（2）試探討是否存在實數(shù)，使得對恒成立？若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】幾何證明選講

在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（是參數(shù)），以原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．

（1）求曲線的直角坐標方程，并指出其表示何種曲線；

（2）若曲線與曲線交于兩點，求的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知O為原點，A，B，C為平面內(nèi)的三點．求證：

(1) 若A，B，C三點共線，則存在實數(shù)α，β，且α＋β＝1，

(2) 若存在實數(shù)α，β，且α＋β＝1，使得，則A，B，C三點共線．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱柱中，側(cè)棱平面， ， ， ， ，點是的中點

（1）證明： 平面；

（2）在線段上找一點，使得直線與所成角的為，求的值.

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