Question

5．求證：
（1）當(dāng)a＞1時(shí)，$\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}＜2\sqrt{a}$；
（2）1，$\sqrt{2}$，3不可能是一個(gè)等差數(shù)列中的三項(xiàng)．

Answer 1

分析 （1）利用綜合法證明即可；
（2）利用反證法證明，假設(shè)1，$\sqrt{2}$，3是同一個(gè)等差數(shù)列中的三項(xiàng)，分別設(shè)為a_m，a_n，a_p，推出d=$\frac{\sqrt{2}-1}{n-m}$為無理數(shù)，又$\frac{3-1}{p-m}$為有理數(shù)，矛盾，即可證明不可能是等差數(shù)列中的三項(xiàng)．

解答 證明：（1）∵（$\sqrt{a+1}$+$\sqrt{a-1}$）²=2a+2$\sqrt{a+1}$•$\sqrt{a-1}$，$\sqrt{a+1}$＞0，$\sqrt{a-1}$＞0，且a+1≠a-1，
∴2a+2$\sqrt{a+1}$•$\sqrt{a-1}$＜2a+2a，
∴$\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}＜2\sqrt{a}$----------（7分）
（2）假設(shè)1，$\sqrt{2}$，3是同一個(gè)等差數(shù)列中的三項(xiàng)，分別設(shè)為a_m，a_n，a_p，
則d=$\frac{\sqrt{2}-1}{n-m}$為無理數(shù)，又$\frac{3-1}{p-m}$為有理數(shù)，矛盾．
∴假設(shè)不成立，即1，$\sqrt{2}$，3不可能是同一個(gè)等差數(shù)列中的三項(xiàng)．-------（14分）

點(diǎn)評 反證法是屬于“間接證明法”一類，是從反面的角度思考問題的證明方法，即：肯定題設(shè)而否定結(jié)論，從而導(dǎo)出矛盾推理而得．應(yīng)用反證法證明的具體步驟是：①反設(shè)：作出與求證結(jié)論相反的假設(shè)； ②歸謬：將反設(shè)作為條件，并由此通過一系列的正確推理導(dǎo)出矛盾；③結(jié)論：說明反設(shè)成立，從而肯定原命題成立．