Question

15．如圖，甲、乙兩個企業(yè)的用電負荷量y關于投產持續(xù)時間t（單位：小時）的關系y=f（t）均近似地滿足函數(shù)f（t）=Asin（ωt+φ）+b（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）．

（1）根據圖象，求函數(shù)f（t）的解析式；
（2）為使任意時刻兩企業(yè)用電負荷量之和不超過4.5，現(xiàn)采用錯峰用電的方式，讓企業(yè)乙比企業(yè)甲推遲m（m＞0）小時投產，求m的最小值．

Answer 1

分析 （1）由圖象可求得A，b，T的值，由周期公式可求ω，又函數(shù)圖象過點（0，2.5），得sinφ=1，由范圍0＜φ＜π，可求φ，從而可得函數(shù)f（t）的解析式；
（2）設乙投產持續(xù)時間為t小時，則甲的投產持續(xù)時間為（t+m）小時，依題意，有$f（t+m）+f（t）=\frac{1}{2}[cos\frac{π}{6}（t+m）+cos\frac{π}{6}t]+4≤\frac{9}{2}$恒成立，展開由三角函數(shù)恒等變換化簡整理可得：$cos\frac{π}{6}m≤-\frac{1}{2}$，依據余弦函數(shù)圖象得：$\frac{2π}{3}+2kπ≤\frac{π}{6}m≤\frac{4π}{3}+2kπ，（k∈Z）$，取k=0得m的范圍，從而可求m的最小值．

解答 （本題滿分14分）．
解：（1）由圖象可得：$\left\{{\begin{array}{l}{A+b=2.5}\\{-A+b=1.5}\end{array}}\right.$，
解得$A=\frac{1}{2}，b=2$----------------------（2分）
周期T=12，∴$ω=\frac{2π}{12}=\frac{π}{6}$，---------------（3分）
∴$f（t）=\frac{1}{2}sin（\frac{π}{6}t+φ）+2$，
又∵y=f（t）過點（0，2.5），∴sinφ=1，且0＜φ＜π，∴$φ=\frac{π}{2}$，-----------------（5分）
∴$f（t）=\frac{1}{2}sin（\frac{π}{6}t+\frac{π}{2}）+2（t≥0）$---------------（6分）
（2）設乙投產持續(xù)時間為t小時，則甲的投產持續(xù)時間為（t+m）小時
由誘導公式，企業(yè)乙用電負荷量隨持續(xù)時間t變化的關系式為：$f（t）=\frac{1}{2}cos\frac{π}{6}t+2$；
同理，企業(yè)甲用電負荷量變化關系式為：$f（t+m）=\frac{1}{2}cos\frac{π}{6}（t+m）+2$；
兩企業(yè)用電負荷量之和$f（t+m）+f（t）=\frac{1}{2}[cos\frac{π}{6}（t+m）+cos\frac{π}{6}t]+4（t≥0）$；------（8分）
依題意，有$f（t+m）+f（t）=\frac{1}{2}[cos\frac{π}{6}（t+m）+cos\frac{π}{6}t]+4≤\frac{9}{2}$恒成立，
即$cos\frac{π}{6}（t+m）+cos\frac{π}{6}t≤1$恒成立，
展開有：$（cos\frac{π}{6}m+1）cos\frac{π}{6}t-sin\frac{π}{6}msin\frac{π}{6}t≤1$恒成立，------（10分）
∵$（cos\frac{π}{6}m+1）cos\frac{π}{6}t-sin\frac{π}{6}msin\frac{π}{6}t=\sqrt{{{（cos\frac{π}{6}m+1）}^2}+{{sin}^2}\frac{π}{6}m}cos（\frac{π}{6}t+ϕ）$
（其$cosϕ=\frac{{cos\frac{π}{6}m+1}}{{\sqrt{{{（cos\frac{π}{6}m+1）}^2}+{{sin}^2}\frac{π}{6}m}}}；sinϕ=\frac{{sin\frac{π}{6}m}}{{\sqrt{{{（cos\frac{π}{6}m+1）}^2}+{{sin}^2}\frac{π}{6}m}}}$）；
∴$\sqrt{{{（cos\frac{π}{6}m+1）}^2}+{{sin}^2}\frac{π}{6}m}≤1$，-----------------------（11分）
整理得到：$cos\frac{π}{6}m≤-\frac{1}{2}$，------------------------（12分）
依據余弦函數(shù)圖象得：$\frac{2π}{3}+2kπ≤\frac{π}{6}m≤\frac{4π}{3}+2kπ，（k∈Z）$，
即12k+4≤m≤12+8，取k=0得：4≤m≤8
∴m的最小值為4．-----------------------（14分）

點評 本題考查三角函數(shù)圖象和性質及其應用、恒等變換等知識，考查建立三角函數(shù)模型，數(shù)據處理能力、運算求解能力和抽象概括能力，考查函數(shù)與方程的思想、轉化與化歸的思想，屬于中檔題．