Question

【題目】北京、張家港2022年冬奧會(huì)申辦委員會(huì)在俄羅斯索契舉辦了發(fā)布會(huì)，某公司為了競(jìng)標(biāo)配套活動(dòng)的相關(guān)代言，決定對(duì)旗下的某商品進(jìn)行一次評(píng)估．該商品原來每件售價(jià)為25元，年銷售8萬件．
（1）據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，若價(jià)格每提高1元，銷售量將相應(yīng)減少2000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價(jià)最多為多少元？
（2）為了抓住申奧契機(jī)，擴(kuò)大該商品的影響力，提高年銷售量．公司決定立即對(duì)該商品進(jìn)行全面技術(shù)革新和營(yíng)銷策略改革，并提高定價(jià)到x元．公司擬投入 萬作為技改費(fèi)用，投入（50+2x）萬元作為宣傳費(fèi)用．試問：當(dāng)該商品改革后的銷售量a至少應(yīng)達(dá)到多少萬件時(shí)，才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時(shí)商品的每件定價(jià)．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)每件定價(jià)為t元，

則（8﹣（t﹣25）×0.2）t≥25×8，

整理得t2﹣65t+1000≤025≤t≤40，

∴要滿足條件，每件定價(jià)最多為40元

（2）解：由題得當(dāng)x＞25時(shí)： 有解，

即： 有解．

又 =10，

當(dāng)且僅當(dāng)x=30＞25時(shí)取等號(hào)，

∴a≥12．

即改革后銷售量至少達(dá)到12萬件，才滿足條件，此時(shí)定價(jià)為30元/件

【解析】（1）設(shè)每件定價(jià)為t元，則（8﹣（t﹣25）×0.2）t≥25×8，由二次不等式的解法即可得到；（2）由題得當(dāng)x＞25時(shí)： 有解，由分離參數(shù)和基本不等式，可得最值，即可得到a的范圍．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的基本不等式在最值問題中的應(yīng)用，需要了解用基本不等式求最值時(shí)（積定和最小，和定積最大），要注意滿足三個(gè)條件“一正、二定、三相等”才能得出正確答案．