Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= ． （Ⅰ）求函數(shù)f（x）的定義域和值域；
（Ⅱ）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并證明．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由1﹣3x≠0得x≠0， 故函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋ī仭蓿?）∪（0，+∞）．
由f（x）= ，可得3x= ＞0，
求得f（x）＞1，或f（x）＜﹣1，
f（x）的值域?yàn)椋ī仭�，�?）∪（1，+∞）．
（Ⅱ）f（x）為奇函數(shù)，理由如下：
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的定義域?yàn)椋ī仭蓿?）∪（0，+∞），
且 ，
所以，f（x）為奇函數(shù)
【解析】（Ⅰ）由1﹣3x≠0得x≠0，求得函數(shù)f（x）的定義域，由3x= ＞0，求得f（x）的范圍，可得f（x）的值域．（Ⅱ）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且滿足f（﹣x）=﹣f（x），可得f（x）為奇函數(shù)．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用函數(shù)的定義域及其求法和函數(shù)的值域的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握求函數(shù)的定義域時(shí)，一般遵循以下原則：①是整式時(shí)，定義域是全體實(shí)數(shù);②是分式函數(shù)時(shí)，定義域是使分母不為零的一切實(shí)數(shù);③是偶次根式時(shí)，定義域是使被開方式為非負(fù)值時(shí)的實(shí)數(shù)的集合;④對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當(dāng)對(duì)數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時(shí)，底數(shù)須大于零且不等于1,零（負(fù)）指數(shù)冪的底數(shù)不能為零；求函數(shù)值域的方法和求函數(shù)最值的常用方法基本上是相同的．事實(shí)上，如果在函數(shù)的值域中存在一個(gè)最小（大）數(shù)，這個(gè)數(shù)就是函數(shù)的最�。ù螅┲担�因此求函數(shù)的最值與值域，其實(shí)質(zhì)是相同的．