Question

已知函數(shù)f（x）=x-1+

a

ex

，（a∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)a=1時，若直線l：y=kx-1與曲線y=f（x）沒有公共點，求k的最大值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求導(dǎo)，f′（x）=1-

a

ex

=

ex-a

ex

，由f′（x）=0得x=lna，分x∈（-∞，lna）與（-∞，lna）兩種情況寫出f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）當(dāng)a=1時，若直線l：y=kx-1與曲線y=f（x）=x-1+

1

ex

沒有公共點，則x-1+

1

ex

=kx-1無解，則x-1+

1

ex

=kx-1可化為k=1+

1

xex

，
設(shè)g（x）=1+

1

xex

，求導(dǎo)，研究此函數(shù)的單調(diào)性即可解決．

解答： 解：（1）∵f（x）=x-1+

a

ex

，
∴f′（x）=1-

a

ex

=

ex-a

ex

，由f′（x）=0得x=lna
∴當(dāng)x∈（-∞，lna）時，f′（x）＜0，∴（-∞，lna）是f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
當(dāng)x∈（lna，+∞）時，f′（x）＞0，∴（lna，+∞）是f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當(dāng)a=1時，若直線l：y=kx-1與曲線y=f（x）=x-1+

1

ex

沒有公共點，則x-1+

1

ex

=kx-1無解，
∵x=0時，上述方程不成立，∴x≠0
則x-1+

1

ex

=kx-1可化為k=1+

1

xex

，
設(shè)g（x）=1+

1

xex

，∴g′（x）=

-(x+1)

x2ex

∴g′（x）滿足：在（-∞，-1）上g′（x）＞0，在（-1，0）上g′（x）＜0，在（0，+∞）上g′（x）＜0，
∴g（x）滿足：在（-∞，-1）上遞增，在（-1，0）上遞減，在（0，+∞）上遞減，
g（-1）=1-e，而當(dāng)x→+∞時，g（x）→1，
∴g（x）的圖象：

∴g（x）∈（-∞，1-e]∪（1，+∞）
無解時，k∈（1-e，1]，
∴k_max=1

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查函數(shù)的最值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用．