Question

對(duì)于函數(shù)f（x）與g（x），若存在區(qū)間[m，n]（m＜n），使得f（x）與g（x）在區(qū)間[m，n]上的值域相等，則稱f（x）與g（x）為等值函數(shù)，若f（x）=a^x（a＞1）與g（x）=log_ax為等值函數(shù)，則a的取值范圍為（　�。�

• A、（1，

  e

  ）
• B、（

  e

  ，e）
• C、（1，e

  1

  e

  ）
• D、（e

  1

  e

  ，e）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用,指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì),對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)等值函數(shù)的定義，將方程關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化m，n是方程a^x=log_ax的兩個(gè)不同的根，然后根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，轉(zhuǎn)化為a^x=x存在兩個(gè)交點(diǎn)即可得到結(jié)論．

解答： 解：根據(jù)題意要使f（x）=a^x（a＞1）與g（x）=log_ax為等值函數(shù)，
則函數(shù)f（x）與g（x）單調(diào)遞增，
則

f(m)=g(m) f(n)=g(n)

，即m，n是方程a^x=log_ax的兩個(gè)不同的根，
則等價(jià)為f（x）與m（x）=x，有兩個(gè)交點(diǎn)即可，
f′（x）=a^xlna，m′（x）=1，
令f′（t）=m′（t）=1，即a^tlna=1，
at=

1

lna

=logae，則t=log_a（log_ae），
由要使f（x）與m（x）=x，有兩個(gè)交點(diǎn)，
則m（t）＞a^t，
即t＞a^t，
∴l(xiāng)og_a（log_ae）＞log_ae，
即log_ae＞e，
∴

1

lna

＞e，lna＜

1

e

，
解得a＜e

1

e

，
綜上1＜a＜e

1

e

，
故a的取值范圍為（1，e

1

e

），
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)與方程之間的關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，難度較大．