Question

在各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列{a_n}中，對(duì)任意n∈N^*都有a₁+a₂+…+a_n=

1

2

a_na_n+1
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，b_n+1-b_n=2 an，求證：對(duì)任意的n∈N^*都有b_n•b_n+2＜b_n+1²．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法

專(zhuān)題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）求出d=1，從而a₁=a₂-d=1，即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n；
（2）利用疊加法求出b_n=2ⁿ-1，利用作差法，即可證明結(jié)論．

解答： 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d．
令n=1，得a₁=

1

2

a₁a₂．
由a₁＞0，得a₂=2．
令n=2，得a₁+a₂=

1

2

a₂a₃，
即a₁+2=a₁+2d，得d=1．
從而a₁=a₂-d=1．
故a_n=1+（n-1）•1=n．
（2）證明：因?yàn)?I>a_n=n，所以b_n+1-b_n=2ⁿ，
所以b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁
=2^n-1+2^n-2+…+2+1
=2ⁿ-1．
又b_nb_n+2-b_n+1²=（2ⁿ-1）（2ⁿ⁺²-1）-（2ⁿ⁺¹-1）²=-2ⁿ＜0，
所以b_nb_n+2＜b_n+1²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)，考查疊加法，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．