Question

3．設(shè)函數(shù)f（x）=|x+1|
（I）若f（x）+f（x-6）≥m²+m對(duì)任意x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍
（Ⅱ）當(dāng)-1≤x≤4，求$\sqrt{f（x）}+\sqrt{f（{2x-9}）}$的最大值．

Answer 1

分析 （I）運(yùn)用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，可得f（x）+f（x-6）的最小值，再由不等式恒成立思想，解二次不等式，即可得到m的范圍；
（Ⅱ）運(yùn)用柯西不等式，注意等號(hào)成立的條件，即可求得最大值．

解答 解：（I）f（x）+f（x-6）=|x+1|+|x-5|≥|（x+1）-（x-5）|=6，
當(dāng)且僅當(dāng)-1≤x≤5時(shí)，等號(hào)成立．
由恒成立思想可得，m²+m≤6，解得-3≤m≤2，
則實(shí)數(shù)m的取值范圍是[-3，2]；
（Ⅱ）當(dāng)-1≤x≤4，$\sqrt{f（x）}+\sqrt{f（{2x-9}）}$=$\sqrt{|x+1|}$+$\sqrt{|2x-8|}$=$\sqrt{x+1}$+$\sqrt{2}$•$\sqrt{4-x}$，
由柯西不等式可得（$\sqrt{x+1}$+$\sqrt{2}$•$\sqrt{4-x}$）²≤（1²+（$\sqrt{2}$）²）（（$\sqrt{x+1}$）²+（$\sqrt{4-x}$）²）
=15，當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{\sqrt{x+1}}{1}$=$\frac{\sqrt{4-x}}{\sqrt{2}}$即x=$\frac{2}{3}$時(shí)，等號(hào)成立．
故當(dāng)x=$\frac{2}{3}$時(shí)，$\sqrt{f（x）}+\sqrt{f（{2x-9}）}$的最大值為$\sqrt{15}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查絕對(duì)值不等式的解法和運(yùn)用，主要考查絕對(duì)值不等式的性質(zhì)和不等式恒成立思想，同時(shí)考查柯西不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．