Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³-2x²+ax+b的圖象在點(diǎn)P（3，f（3）），處的切線(xiàn)方程為y=3x-5．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=f（x）+

m

x-2

．
①若g（x）是[3，+∞）上的增函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的最大值；
②是否存在點(diǎn)Q，使得過(guò)點(diǎn)Q的直線(xiàn)若能與曲線(xiàn)y=g（x）圍成兩個(gè)封閉圖形，則這兩個(gè)封閉圖形的面積總相等．若存在，求出點(diǎn)Q坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用曲線(xiàn)上的點(diǎn)的切線(xiàn)方程與改點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)的關(guān)系問(wèn)題即可求得；
（Ⅱ）利用函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題，解含m的不等式求m的最值；求得函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)中心，利用對(duì)稱(chēng)性說(shuō)明．

解答： 解：（Ⅰ）x=3時(shí)，f（3）=3a+b-9
∵f′（x）=x²-4x+a，
∴f′（3）=9-12+a，
∴a=6
又∵點(diǎn)P（3，f（3））在直線(xiàn)y=3x-5上，
∴f（3）=4，即3a+b-9=4，
∴b=-5
∴a=6，b=-5，
∴f（x）=

1

3

x³-2x²+6x-5．

（Ⅱ）①g（x）=

1

3

x³-2x²+6x-5+

m

x-2

．
又g（x）是[3，+∞）上的增函數(shù)，
∴g′（x）=x²-4x+6-

m

(x-2)2

=（x-2）²-

m

(x-2)2

+2≥0，在[3，+∞）上恒成立，
令（x-2）²=t，則t≥1，
設(shè)y=t-

m

t

+2，
∴t-

m

t

+2≥0在[1，+∞）上恒成立，
即m≤t²+2t=（t+1）²-1恒成立，
∴m≤3，
故實(shí)數(shù)m的最大值是3．
②∵g（x）=

1

3

x³-2x²+6x-5+

m

x-2

，
∴g（4-x）=

1

3

（4-x）³-2（4-x）²+6（4-x）-5+

m

4-x-2

=-

1

3

x³+2x²-6x-

25

3

-

m

x-2

，
∴g（x）+g（4-x）=

10

3

，
∴Q（2，

5

3

）
表明：若點(diǎn)A（x，y）為g（x）圖象上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)（4-x，

10

3

-y）也在圖象上，
而線(xiàn)段AB的中點(diǎn)恒為Q（2，

5

3

）；
由此可知g（x）圖象關(guān)于點(diǎn)Q（2，

5

3

）對(duì)稱(chēng)．
這也表明存在點(diǎn)Q（2，

5

3

），使得過(guò)Q的直線(xiàn)若能與g（x）圖象相交圍成封閉圖形，
則這兩個(gè)封閉圖形面積相等．

點(diǎn)評(píng)：考查利用導(dǎo)數(shù)求過(guò)曲線(xiàn)上點(diǎn)的切線(xiàn)方程的方法，以及利用函數(shù)的單調(diào)性求字母的最值問(wèn)題和圖象的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，屬綜合性很強(qiáng)的題目，屬難題．