Question

如圖，在三棱錐A-BCD中，BA=BD，AD⊥CD，E、F分別為AC、AD的中點．
（Ⅰ）求證：EF∥平面BCD；
（Ⅱ）求證：平面EFB⊥平面ABD；
（Ⅲ）若BC=BD=CD=AD=2，AC=2

2

，求二面角B-AD-C的余弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面平行的判定,平面與平面垂直的判定

專題：空間角

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出EF∥CD，由此能夠證明EF∥平面BCD．
（Ⅱ）由已知條件推導(dǎo)出EF⊥AD，BF⊥AD，從而得到AD⊥平面EFB，由此能夠證明平面EFB⊥平面ABD．
（Ⅲ）由已知條件推導(dǎo)出∠BFE即為所求二面角B-AD-C的平面角，由此能求出二面角B-AD-C的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：在△ACD中，∵E，F(xiàn)是AC，AD的中點，
∴EF∥CD，
∵EF不包含于平面BCD，CD?平面BCD，
∴EF∥平面BCD．
（Ⅱ）證明：在△ACD中，AD⊥CD，EF∥CD，
∴EF⊥AD，
∵在△ABD中，BA=BD，F(xiàn)為AD的中點，
∴BF⊥AD，
∵EF?平面EFB，BF?平面EFB，且EF∩BF=F，
∴AD⊥平面EFB，
∵AD?平面ABD，∴平面EFB⊥平面ABD．
（Ⅲ）解：二面角B-AD-C即為二面角B-AD-E，
由（Ⅱ）知EF⊥AD，BF⊥AD，
∴∠BFE即為所求二面角B-AD-C的平面角，
在△BEF中，∵BC=BD=CD=AD=2，AC=2

2

，
∴BF=

3

，EF=1，BE=

2

，
由余弦定理，得cos∠BFE=

BF2+EF2-BE2

2BF•EF

=

3+1-2

2 3

=

3

3

，
∴二面角B-AD-C的余弦值為

3

3

．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考進(jìn)平面與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．