Question

已知函數(shù)f（x）=

3

2

sin2x-cos²x+

1

2

．
（1）求f（x）的最小正周期和最大值及相應(yīng)x的值；
（2）當(dāng)x∈（0，π），求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法,正弦函數(shù)的單調(diào)性

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用兩角和與二倍角公式對函數(shù)解析式化簡，利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)求得最小正周期T，和函數(shù)最大值及相應(yīng)x的值；
（2）利用三角函數(shù)圖象與性質(zhì)求得答案．

解答： 解：（1）f（x）=

3

2

sin2x-cos²x+

1

2

=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x+1
=sin（2x-

π

6

）+1
∴T=

2π

2

=π，當(dāng)2x-

π

6

=2kπ+

π

2

（k∈Z），即x=kπ+

π

3

（k∈Z）時，sin（2x-

π

6

）=1，f（x）_max=2
（2）∵x∈（0，π），
∴2x-

π

6

∈（-

π

6

，

11π

6

），
∴當(dāng)

π

2

≤2x-

π

6

≤

3π

2

，即x∈[

π

3

，

5π

6

]時，函數(shù)單調(diào)遞減，
∴x∈（0，π），求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[

π

3

，

5π

6

]．

點評：本題主要考查了利用兩角和公式，二倍角公式的應(yīng)用，三角函數(shù)圖象與性質(zhì)．化簡一定要找準(zhǔn)解題的突破口或切入點，其中的降次，消元，切割化弦，異名化同名，異角化同角是常用的化簡技巧．