Question

18．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n=log_n（n+1）（n≥2，n∈N^*）．定義：使乘積a₁•a₂…a_k為正整數(shù)的k（k∈N^*）叫做“易整數(shù)”．則在[1，2015]內(nèi)所有“易整數(shù)”的和為2036．

Answer 1

分析 由題意，及對(duì)數(shù)的換底公式知，a₁•a₂•a₃…a_k=log₂（k+1），結(jié)合等比數(shù)列的前n項(xiàng)和進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵a_n=log_n（n+1），
∴由a₁•a₂…a_k為整數(shù)得1•log₂3•log₃4…log_k（k+1）=log₂（k+1）為整數(shù)，
設(shè)log₂（k+1）=m，則k+1=2^m，
∴k=2^m-1；
∵2¹¹=2048＞2015，
∴區(qū)間[1，2015]內(nèi)所有“易整數(shù)”為：2¹-1，2²-1，2³-1，2⁴-1，…，2¹⁰-1，
其和M=2¹-1+2²-1+2³-1+2⁴-1+…+2¹⁰-1=$\frac{2（1-{2}^{10}）}{1-2}$-10=2¹¹-2-10=2036．
故答案為：2036．

點(diǎn)評(píng) 本題以新定義“易整數(shù)”為切入點(diǎn)，主要考查了對(duì)數(shù)的換底公式及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用．