Question

8．四面體ABCD中，點(diǎn)G₁，G₂，G₃，G₄分別是△BCD，△ACD，△ABD，△ABC的重心．求證：AG₁，BG₂，CG₃，DG₄交于一點(diǎn)．

Answer 1

分析 由三角形重心的性質(zhì)說明AG₁，BG₂相交于一點(diǎn)M，然后證明CG₃，DG₄過點(diǎn)M即可．

解答 證明：如圖，
∵G₁，G₂分別是△BCD，△ACD的重心，
連接BG₂，AG₁并延長，交CD于點(diǎn)E，在平面ABE中，設(shè)AG₁∩BG₂=M，則$\frac{{G}_{1}M}{MA}=\frac{{G}_{2}M}{MB}=\frac{1}{3}$，
連接DG₁，AG₄并延長交于N，在平面ADN中，設(shè)AG₁∩DG₄=M′，則$\frac{{G}_{1}M′}{M′A}=\frac{{G}_{4}M′}{M′D}=\frac{1}{3}$，
從而可得M，M′重合，即AG₁，BG₂，DG₄交于一點(diǎn)M，
同理可得CG₃過點(diǎn)M．
即AG₁，BG₂，CG₃，DG₄交于一點(diǎn)．

點(diǎn)評 本題考查了棱錐的結(jié)構(gòu)特征，考查了三角形重心的性質(zhì)，訓(xùn)練了統(tǒng)一法證明線共點(diǎn)問題，是中檔題．