Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-

a(x-1)

x+1

．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)p，q∈R⁺，且p＞q，求證：

p-q

lnp-lnq

＜

p+q

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：不等式的證明,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式

分析：（Ⅰ）先求導(dǎo)，再分離參數(shù)，利用基本不等式求出a的取值范圍，
（Ⅱ）利用分析法結(jié)合（Ⅰ）的結(jié)論得以證明．

解答： 解：（Ⅰ）：∵f（x）=lnx-

a(x-1)

x+1

，
∴f′（x）=

1

x

-

a(x+1)-a(x-1)

(x+1)2

=

x2+(2-2a)x+1

x(x+1)2

，
∵函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)，
∴∴f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
即x²+（2-2a）x+1≥0在（0，+∞）上恒成立，
∴2a-2≤x+

1

x

≤2，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)，
∴a≤2，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，2]，
（Ⅱ）證明：要證

p-q

lnp-lnq

＜

p+q

2

，
只需要證：

p q -1

ln p q

＜

p q +1

2

，
即證ln

p

q

＞

2( p q -1)

p q +1

＞0，
設(shè)h（x）=lnx-

2(x-1)

x+1

，
由（Ⅰ）知函數(shù)在（1，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)，又

p

q

＞1，
∴h（

p

q

）＞h（1）=0，
即ln

p

q

-

2( p q -1)

p q +1

＞0，
∴

p-q

lnp-lnq

＜

p+q

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系，以及不等式的證明，屬于中檔題．