Question

已知集合A={x|ax+5≤3}，B={x|x≥1}．
（1）若A∪B=B，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若A∩B=B，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）是否存在實(shí)數(shù)a使得A∪B=A∩B？若存在，求出a的值，若不存在，試說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：交集及其運(yùn)算,并集及其運(yùn)算

專題：集合

分析：（1）A={x|ax+5≤3}={x|ax≤-2}，B={x|x≥1}，A∪B=B，從而A⊆B，由此能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（2）A={x|ax+5≤3}={x|ax≤-2}，B={x|x≥1}，A∩B=B，從而B⊆A，由此能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（3）A={x|ax+5≤3}={x|ax≤-2}，B={x|x≥1}，A∪B=A∩B，從而A=B，由此能求出a=-2．

解答： 解：（1）∵A={x|ax+5≤3}={x|ax≤-2}，
B={x|x≥1}，A∪B=B，
∴A⊆B，
當(dāng)a=0時(shí)，A=∅，成立；
當(dāng)a＞0時(shí)，A={x|x≤-

2

a

}，不成立；
當(dāng)a＜0時(shí)，A={x|x≥-

2

a

}，
此時(shí)-

2

a

≥1，解得a≥-2，即-2≤a＜0，
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-2，0]．
（2）∵A={x|ax+5≤3}={x|ax≤-2}，
B={x|x≥1}，A∩B=B，
∴B⊆A，
當(dāng)a=0時(shí)，A=∅，不成立；
當(dāng)a＞0時(shí)，A={x|x≤-

2

a

}，不成立；
當(dāng)a＜0時(shí)，A={x|x≥-

2

a

}，
此時(shí)-

2

a

≤1，解得a≤-2，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，-2]．
（3）∵A={x|ax+5≤3}={x|ax≤-2}，
B={x|x≥1}，A∪B=A∩B，
∴A=B，
當(dāng)a=0時(shí)，A=∅，不成立；
當(dāng)a＞0時(shí)，A={x|x≤-

2

a

}，不成立；
當(dāng)a＜0時(shí)，A={x|x≥-

2

a

}，
此時(shí)-

2

a

=1，解得a=-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查實(shí)數(shù)值的取值范圍的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要注意集合的交集、并集、集合相等的性質(zhì)的合理運(yùn)用．