Question

已知函數(shù)f（x）=|2x+1|-|x|-2
（Ⅰ）解不等式f（x）≥0
（Ⅱ）若存在實(shí)數(shù)x，使得f（x）≤|x|+a，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，分類討論，求得不等式的解集．
（Ⅱ）不等式即|x+

1

2

|-|x|≤

a

2

+1①，由題意可得，不等式①有解．根據(jù)絕對(duì)值的意義可得|x+

1

2

|-|x|∈[-

1

2

，

1

2

]，故有

a

2

+1≥-

1

2

，由此求得a的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=|2x+1|-|x|-2=

-x-3，x＜- 1 2 3x-1，- 1 2 ≤x＜0 x-1，x≥0

，
當(dāng)x＜-

1

2

時(shí)，由-x-3≥0，可得x≤-3．
當(dāng)-

1

2

≤x＜0時(shí)，由3x-1≥0，求得 x∈∅．
當(dāng)x≥0時(shí)，由x-1≥0，求得 x≥1．
綜上可得，不等式的解集為{x|x≤-3 或x≥1}．
（Ⅱ）f（x）≤|x|+a，即|x+

1

2

|-|x|≤

a

2

+1①，由題意可得，不等式①有解．
由于|x+

1

2

|-|x|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到-

1

2

對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離減去它到原點(diǎn)的距離，故|x+

1

2

|-|x|∈[-

1

2

，

1

2

]，
故有

a

2

+1≥-

1

2

，求得a≥-3．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值的意義，絕對(duì)值不等式的解法，函數(shù)的能成立問(wèn)題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．