Question

如圖，已知直線l與拋物線x²=4y相切于點(diǎn)P（2，1），且與x軸交于點(diǎn)A，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，定點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0）．
（1）若動(dòng)點(diǎn)M滿足

AB

•

BM

+

2

|

AM

|=0，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡Q；
（2） F₁，F(xiàn)₂是軌跡Q的左、右焦點(diǎn)，過F1作直線l（不與x軸重合），l與軌跡Q相交于C，D，并與圓x²+y²=3相交于E，F(xiàn)．當(dāng)

F2E

•

F2F

=λ，且λ∈[

2

3

，1]時(shí)，求△F₂CD的面積S的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意直線l與拋物線x²=4y相切于點(diǎn)P（2，1），且與x軸交于點(diǎn)A，利用導(dǎo)數(shù)的幾何含義得到直線的方程，進(jìn)而求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，利用動(dòng)點(diǎn)M滿足

AB

•

BM

+

2

|

AM

|=0，利用求動(dòng)點(diǎn)軌跡的直接法即可求解；
（2）由題意設(shè)出直線l的方程，把它與橢圓及已知的圓的方程方程進(jìn)行聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系整體代換得到△F₂CD的面積用t表示的函數(shù)式子，有已知的λ的范圍得到t的范圍，利用求函數(shù)值域的方法得到三角形的面積的取值范圍．

解答：解：（1）由x²=4y得y=

1

4

x²，∴y′=

1

2

x
∴直線l的斜率為y′|₂=1，
故l的方程為y=x-1，∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（1，0），
設(shè)M（x，y）則

AB

=（1，0），

BM

=（x-2，y），

AM

=（x-1，y），
由

AB

•

BM

+

2

|

AM

|=0得
（x-2）+y•0+

2

•

(x-1)2+y2

=0
整理，得

x2

2

+y2=1，
∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡Q為以原點(diǎn)為中心，焦點(diǎn)在x軸上，長軸長為2

2

，
短軸長為2的橢圓．

（2）設(shè)l方程為x=ty-1，E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂）
由

x=ty-1 x2+y2=3

得（t²+1）y²-2ty-2=0

F2E

•

F2F

=(x1-1，y1)•(x2-1，y2)
=（ty₁-2）（ty₂-2）+y₁y₂
=（t²+1）y₁y₂-2t（y₁+y₂）+4
=

4

t2+1

-2，
由

F2E

•

F2F

∈[

2

3

，1]得t²∈[

1

3

，

1

2

]．
由

x=ty-1 x2 2 +y2=3

得（t²+2）y²-2ty-1=0設(shè)C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）．
則S△F1CD=

1

2

|F1F2|y3-y4|=|y3-y4|=

8(t2+1) (t2+2)2

，
設(shè)m=t²+1，則S=

8m (m+1)2

=

8 m+ 1 m +2

，m∈[

4

3

，

3

2

]
S關(guān)于m在[

4

3

，

3

2

]上是減函數(shù)．所以S∈[

4

5

3

，

4

7

6

]．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何含義，雙曲線的性質(zhì)，直線方程與橢圓和圓的方程的聯(lián)立及根與系數(shù)的關(guān)系，還考查了有定義域求函數(shù)值域的方法，及整體代換的思想．