Question

如圖，已知直線l與拋物線y=

1

4

x2相切于點P（2，1），且與x軸交于點A，O為坐標原點，定點B的坐標為（2，0）．
（1）若動點M滿足

AB

•

BM

+

2

|

AM

|=0，求動點M的軌跡C的方程；
（2）若過點B的直線l'（斜率不等于零）與（1）中的軌跡C交于不同
的兩點E、F（E在B、F之間），且

BE

=λ

BF

，試求λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由y=

1

4

x2，知y′=

1

2

x，所以l的斜率為y'_x=2=1，從而得到直線l的方程為y=x-1，點A坐標為A（1，0），由此能求出動點M的軌跡C的方程．
（2）由題意，設l'的方程為y=k（x-2）（k≠0），由

y=k(x-2) x2 2 +y2=1

，得（2k²+1）x²-8k²x+8k²-2=0．由△＞0得0＜k2＜

1

2

．設E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），再結合韋達定理進行求解．

解答：解：（1）∵y=

1

4

x2，∴y′=

1

2

x，
∴l(xiāng)的斜率為y'_x=2=1
∴直線l的方程為y=x-1
∴點A坐標為A（1，0）
設M（x、y），
則

AB

=(1，0)，

BM

=(x-2，y)，

AM

=(x-1，y)
由

AB

•

BM

+

2

|

AM

|=0得x-2+

2

•

(x-1)2+y2

=0
整理得

x2

2

+y2=1--------（6分）
（2）由題意，設l'的方程為y=k（x-2）（k≠0）
由

y=k(x-2) x2 2 +y2=1

得（2k²+1）x²-8k²x+8k²-2=0由△＞0得0＜k2＜

1

2

設E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
則

x1+x2= 8k2 2k2+1 x1•x2= 8k2-2 2k2+1

①
∵

BE

=λ

BF

，
∴x₁-2=λ（x₂-2）②
且0＜λ＜1
由①知，(x1-2)+(x2-2)=

-4

2k2+1

③
(x1-2)(x2-2)=x1x2-2(x1+x2)+4=

2

2k2+1

④
由②③④知：
∴

λ

(1+λ)2

=

2k2+1

8

即k2=

4λ

(1+λ)2

-

1

2

∵0＜k2＜

1

2

，
∴0＜

4λ

(1+λ)2

-

1

2

＜

1

2

解得  3-2

2

＜λ＜3+2

2

又0＜λ＜1
∴3-2

2

＜λ＜1--------------（14分）

點評：本題考查動點的軌跡的求解方法和求λ的取值范圍．解題時要認真審題，注意拋物線性質的靈活運用和韋達定理的合理運用．