Question

已知圓O的方程為x²+y²=1，直線l₁過(guò)點(diǎn)A（3，0），且與圓O相切．
（1）求直線l₁的方程；
（2）設(shè)圓O與x軸相交于P，Q兩點(diǎn)，M是圓O上異于P，Q的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A且與x軸垂直的直線為l₂，直線PM交直線l₂于點(diǎn)P′，直線QM交直線l₂于點(diǎn)Q′．求證：以P′Q′為直徑的圓C總經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）由已知中直線l₁過(guò)點(diǎn)A（3，0），我們可以設(shè)出直線的點(diǎn)斜式方程，化為一般式方程后，代入點(diǎn)到直線距離公式，根據(jù)直線與圓相切，圓心到直線的距離等于半徑，可以求出k值，進(jìn)而得到直線l₁的方程；
（2）由已知我們易求出P，Q兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，我們可以得到點(diǎn)P′與Q′的坐標(biāo)（含參數(shù)），進(jìn)而得到以P′Q′為直徑的圓的方程，根據(jù)圓的方程即可判斷結(jié)論．

解答：解：（1）由題意，可設(shè)直線l₁的方程為y=k（x-3），
即kx-y-3k=0…（2分）
又點(diǎn)O（0，0）到直線l₁的距離為d=

|3k|

k2+1

=1，解得k=±

2

4

，
所以直線l₁的方程為y=±

2

4

(x-3)，
即

2

x-4y-3

2

=0或

2

x+4y-3

2

=0…（5分）
（2）對(duì)于圓O的方程x²+y²=1，令x=±1，即P（-1，0），Q（1，0）．
又直線l₂方程為x=3，設(shè)M（s，t），則直線PM方程為y=

t

s+1

(x+1)．
解方程組

x=3 y= t s+1 (x+1)

，得P/(3，

4t

s+1

)，
同理可得：Q/(3，

2t

s-1

)．…（9分）
所以圓C的圓心C的坐標(biāo)為(3，

3st-t

s2-1

)，半徑長(zhǎng)為|

st-3t

s2-1

|，
又點(diǎn)M（s，t）在圓上，又s²+t²=1．故圓心C為(3，

1-3s

t

)，半徑長(zhǎng)|

3-s

t

|．
所以圓C的方程為(x-3)2+(y-

1-3s

t

)2=(

3-s

t

)2，…（11分）
即(x-3)2+y2-

2(1-3s)y

t

+

(1-3s)2

t2

-

(3-s)2

t2

=0
即(x-3)2+y2-

2(1-3s)y

t

+

8(s2-1)

t2

=0，
又s²+t²=1
故圓C的方程為(x-3)2+y2-

2(1-3s)y

t

-8=0
所以圓C經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，y=0，則x=3±2

2

，
所以圓C經(jīng)過(guò)定點(diǎn)且定點(diǎn)坐標(biāo)為(3±2

2

，0)（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)是直線和圓的方程的應(yīng)用，其中熟練掌握直線與圓不同位置關(guān)系時(shí)，點(diǎn)到直線的距離與半徑的關(guān)系，弦長(zhǎng)公式等是解答本題的關(guān)鍵．