【題目】已知函數(shù),,函數(shù),若的圖象上相鄰兩條對稱軸的距離為,圖象過點.
(1)求表達式和的單調(diào)增區(qū)間;
(2)將函數(shù)的圖象向右平移個單位,再將圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變),得到函數(shù)的圖象,若函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個零點,求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1) 的單調(diào)增區(qū)間為, (2) 或.
【解析】分析:(1)由題意,求得 ,進而求得,,即可得到函數(shù)的解析式,求得其單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換,得到函數(shù),進而求得函數(shù)在區(qū)間上的值域為,要使得函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個零點,只需函數(shù)的圖象和直線有且只有一個零點,即可求得結(jié)論.
詳解:(1) ,
,
的最小正周期為,∴,
∵的圖象過點,∴.
∴,即,
令,,求得,,
故的單調(diào)增區(qū)間為,.
(2)將函數(shù)的圖象向右平移個單位,可得
的圖象;
再將圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變),得到函數(shù)
的圖象.
在區(qū)間上,,∴,
故在區(qū)間上的值域為,
若函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個零點,
由題意可得,函數(shù)的圖象和直線有且只有一個零點,并根據(jù)圖象可知,或.
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【題目】有一個公益廣告說:“若不注意節(jié)約用水,那么若干年后,最有一滴水只能是我們的眼淚。”我國是水資源匱乏的國家。為鼓勵節(jié)約用水,某市打算出臺一項水費政策措施,規(guī)定:每一季度每人用水量不超過5噸時,每噸水費收基本價1.3元;若超過5噸而不超過6噸時,超過部分的水費加收200%;若超過6噸而不超過7噸時,超過部分的水費加收400%。設(shè)某人本季度實際用水量為噸,應(yīng)交水費為f(x),(1)求的值;(2)試求出函數(shù)f(x)的解析式。
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【題目】某廠家舉行大型的促銷活動,經(jīng)測算某產(chǎn)品當促銷費用為萬元時,銷售量萬件滿足(其中, 為正常數(shù)),現(xiàn)假定生產(chǎn)量與銷售量相等,已知生產(chǎn)該產(chǎn)品萬件還需投入成本萬元(不含促銷費用),產(chǎn)品的銷售價格定為萬元/萬件.
(1)將該產(chǎn)品的利潤萬元表示為促銷費用萬元的函數(shù);
(2)促銷費用投入多少萬元時,廠家的利潤最大.
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【題目】已知拋物線上橫坐標為的點到焦點的距離為.
(1)求拋物線的方程;
(2)若過點的直線與拋物線交于不同的兩點,且以為直徑的圓過坐標原點,求的面積。
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,橢圓的焦距為2,且過點.
(1)求橢圓的方程;
(2)若點分別是橢圓的左右頂點,直線經(jīng)過點且垂直與軸,點是橢圓上異于的任意一點,直線交于點.
①設(shè)直線的斜率為,直線的斜率為,求證:為定值;
②設(shè)過點垂直于的直線為 ,求證:直線過定點,并求出定點的坐標.
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【題目】如圖所示,在直三棱柱中,,,,.
(1)證明: 平面;
(2)若是棱的中點,在棱上是否存在一點,使DE∥平面?證明你的結(jié)論.
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【題目】在△ABC中,D為BC邊上的中點,P0是邊AB上的一個定點,P0B= AB,且對于AB上任一點P,恒有 ≥ ,則下列結(jié)論中正確的是(填上所有正確命題的序號).
①當P與A,B不重合時, + 與 共線;
② = ﹣ ;
③存在點P,使| |<| |;
④ =0;
⑤AC=BC.
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【題目】已知中心在原點的雙曲線的右焦點為,右頂點為.
()求雙曲線的方程;
()若直線與雙曲線交于不同的兩點,,且線段的垂直平分線過點,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】某某大學(xué)藝術(shù)專業(yè)400名學(xué)生參加某次測評,根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例,使用分層抽樣的方法從中隨機抽取了100名學(xué)生,記錄他們的分數(shù),將數(shù)據(jù)分成7組: ,并整理得到如下頻率分布直方圖:
(Ⅰ)從總體的400名學(xué)生中隨機抽取一人,估計其分數(shù)小于70的概率;
(Ⅱ)已知樣本中分數(shù)小于40的學(xué)生有5人,試估計總體中分數(shù)在區(qū)間[40,50)內(nèi)的人數(shù);
(Ⅲ)已知樣本中有一半男生的分數(shù)不小于70,且樣本中分數(shù)不小于70的男女生人數(shù)相等.試估計總體中男生和女生人數(shù)的比例.
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