Question

已知a≤1，x≥1，求證：（x+1）ln（x+1）≥ax．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：構造函數(shù)f（x）=（x+1）ln（x+1）-ax，利用導數(shù)求其在[1，+∞）上的最小值，根據(jù)最小值大于0，即可證明不等式（x+1）ln（x+1）≥ax．

解答： 解：令f（x）=（x+1）ln（x+1）-ax，
則f′（x）=ln（x+1）+1-a，
∵x≥1，a≤1
∴l(xiāng)n（x+1）≥ln2＞0，1-a≥0，
∴f′（x）=ln（x+1）+1-a＞0，
∴f（x）在[1，+∞）上單調遞增，
∴在[1，+∞）上f（x）≥f（1）=2ln2-a＞ln

4

e

＞0，
即（x+1）ln（x+1）-ax＞0
∴（x+1）ln（x+1）≥ax．

點評：本題考查利用導數(shù)求函數(shù)最值，以及最值與不等式成立的關系，屬于中檔題．