Question

如圖，PO⊥平面ABCD，點O在AB上，EA∥PO，四邊形ABCD為直角梯形，BC⊥AB，BC=CD=BO=PO，EA=AO=

1

2

CD．
（1）求證：PE⊥平面PBC；
（2）直線PE上是否存在點M，使DM∥平面PBC，若存在，求出點M；若不存在，說明理由．
（3）求二面角E-BD-A的余弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,直線與平面平行的性質(zhì),直線與平面垂直的判定

專題：空間角

分析：（1）由已知條件推導出點A，B，P，E共面，BC⊥平面PEAB，從而得到PE⊥BC，由此能證明PE⊥平面PBC．
（2）點E即為所求的點，即點M與點E重合．由平面幾何知識能證明DE∥平面PBC．
（3）建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角E-BD-A的余弦值．

解答： （1）證明：EA∥OP，AO?平面ABP，
∴點A，B，P，E共面，
∵PO⊥平面ABCD，PO?平面PEAB，
∴平面∩平面ABCD=AB，
∴BC⊥平面PEAB，∴PE⊥BC，
由平面幾何知識知PE⊥PB，
又BC∩PB=B，
∴PE⊥平面PBC．
（2）解：點E即為所求的點，即點M與點E重合．
取PB的中點F，連接EF，CF，DE，
由平面幾何知識知EF∥AB，又AB∥CD，∴EF∥CD，且EF=DC，
∴四邊形DCFE為平行四邊形，所以DE∥CF．
∵CF在平面PBC內(nèi)，DE不在平面PBC內(nèi)，
∴DE∥平面PBC．
∴DM∥平面PBC．
（3）解：由已知知四邊形BCDO是正方形，OD、OB、OP兩兩垂直，
如圖建立空間直角坐標系，設DC=1，
則B（0，1，0），D（1，0，0），E（0，-

1

2

，

1

2

），
設平面BDE的一個法向量為

n1

=（x，y，z），

BD

=（1，-1，0），

BE

=（0，-

3

2

，

1

2

），

n1 • BD =x-y=0 n1 • BE =- 3 2 y+ 1 2 z=0

，
取y=1，則x=1，z=3，從而

n1

=（1，1，3）．
取平面ABD的一個法向量為

n2

=（0，0，1）．
cos＜

n1

，

n2

＞=

3

11 •1

=

3 11

11

，
故二面角E-BD-A的余弦值為

3 11

11

．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查滿足條件的點的判斷，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．