Question

11．在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對的邊，O為△ABC三邊中垂線的交點．
（1）若b-c=$\frac{1}{4}$a，2sinB=3sinC，求cosA的值；
（2）若b²-2b+c²=0，求$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{AO}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理可求2b=3c，結(jié)合已知可得a=2c，b=$\frac{3c}{2}$，用余弦定理即可求值得解．
（2）如圖所示，延長AO交外接圓于D．由于AD是⊙O的直徑，可得∠ACD=∠ABD=90°，于是cos$∠CAD=\frac{AC}{AD}$，cos∠BAD=$\frac{AB}{AD}$．可得$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$•（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$²-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$²，．再利用c²=2b-b²，化為$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{BC}$=（b-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$．由于c²=2b-b²＞0，解得0＜b＜2．令f（b）=（b-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$．利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）∵2sinB=3sinC，∴2b=3c．
又∵b-c=$\frac{1}{4}$a，∴a=2c，b=$\frac{3c}{2}$，
∴cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=-$\frac{1}{4}$．
（2）∵O為△ABC三邊中垂線的交點，
∴O為三角形外接圓的圓心．如圖所示，延長AO交外接圓于D，連接BD、CD，
∵AD是圓O的直徑，
∴∠ACD=∠ABD=90°，cos$∠CAD=\frac{AC}{AD}$，cos∠BAD=$\frac{AB}{AD}$．
∵c²=2b-b²，
∴$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$•（$\overrightarrow{AC}$-AB）=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AC}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$²-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$²
=$\frac{1}{2}$b²-${\frac{1}{2}}^{\;}$c²=$\frac{1}{2}$b²-$\frac{1}{2}$（2b-b²）
=b²-b=（b-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$．
∵c²=2b-b²＞0，
∴0＜b＜2，
設(shè)f（b）=（b-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，又f（0）=0，f（2）=2，
∴$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{BC}$的取值范圍是：[-$\frac{1}{4}$，2]．

點評 本題考查了正弦定理，余弦定理，三角形的外接圓的性質(zhì)、向量的運算法則、數(shù)量積運算、二次函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識與基本方法，屬于難題．