【題目】如圖,在直三棱柱中, , ,點的中點,點上一動點.

1)是否存在一點,使得線段平面?若存在,指出點的位置,若不存在,請說明理由.

2)若點的中點且,求二面角的正弦值.

【答案】(1)見解析;(2).

【解析】試題分析:

1)存在點,且的中點.連接, ,由三角形中位線的性質(zhì)可得,結(jié)合線面平行的判定定理可得平面

2由題意結(jié)合勾股定理可求得.以點為坐標(biāo)原點, 軸, 軸, 軸建立空間直角坐標(biāo)系,可得平面的一個法向量為,平面的一個法向量為據(jù)此計算可得二面角的正弦值為

試題解析:

1)存在點,且的中點.證明如下:

如圖,連接, ,點 分別為, 的中點,

所以的一條中位線,

平面, 平面,所以平面

2)設(shè),則, ,

,

,得,解得

由題意以點為坐標(biāo)原點, 軸, 軸, 軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,可得, , ,

, ,

設(shè)為平面的一個法向量,則

,得平面的一個法向量

同理可得平面的一個法向量為,

故二面角的余弦值為

故二面角的正弦值為

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(1)根據(jù)調(diào)查結(jié)果,得到如下2╳2列聯(lián)表:

總計

讀營養(yǎng)說明

不讀營養(yǎng)說明

總計

(2)根據(jù)以上列聯(lián)表,進(jìn)行獨立性檢驗,能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為性別與是否讀營養(yǎng)說明之間有關(guān)系?

P(K2≥k)

0.10

0.025

0.010

0.005

k

2.706

5.024

6.635

7.879

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微信群數(shù)量

頻數(shù)

頻率

個以上

合計

)求, , 的值.

若從位同學(xué)中隨機抽取人,求這人中恰有人微信群個數(shù)超過個的概率.

)以這個人的樣本數(shù)據(jù)估計北京市的總體數(shù)據(jù)且以頻率估計概率,若從全市大學(xué)生中隨機抽取人,記表示抽到的是微信群個數(shù)超過個的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望

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