Question

8．已知直線l的方程是y=k（x-1）-2，若點(diǎn)P（-3，0）在直線l上的射影為H，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|OH|的最大值是（　�。�

• A． 5+$\sqrt{2}$
• B． 3+2$\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{5}+\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{3}+3\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由直線l的方程是y=k（x-1）-2，可知：直線l過(guò)定點(diǎn)M（1，-2）．可知：點(diǎn)P（-3，0）在直線l上的射影H在以PM為直徑的圓上．因此當(dāng)O，C，H三點(diǎn)共線時(shí)|OH|取得最大值．

解答 解：由直線l的方程是y=k（x-1）-2，可知：直線l過(guò)定點(diǎn)M（1，-2）．
則點(diǎn)P（-3，0）在直線l上的射影H在以PM為直徑的圓上．
|PM|=$\sqrt{（1+3）^{2}+（-2）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
線段PM的中點(diǎn)即圓心C（-1，-1），|OC|=$\sqrt{2}$．
因此|OH|的最大值是當(dāng)O，C，H三點(diǎn)共線時(shí)，∴|OH|取得最大值=$\sqrt{5}$+$\sqrt{2}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的定義及其性質(zhì)、兩點(diǎn)之間的距離公式、相互垂直的直線的性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．