Question

【題目】在直角坐標系中，圓與軸相切于點，且圓心在直線上.

(Ⅰ)求圓的標準方程；

(II)設為圓上的兩個動點， ,若直線和的斜率之積為定值2，試探求的最小值．

Answer 1

【答案】(I)見解析(II) 當時， 最小值為.

【解析】試題分析：（1）根據直線和圓的位置關系得到圓心和半徑，得到圓的方程；（2）根據題意得到，通過換元求得函數的最值即可。

解析：

(I)因為圓C與y軸相切于點，所以圓心的縱坐標.

因為圓心在直線上，所以,

又由圓與軸相切，可得圓的半徑為 2 .

所以的方程為： .

(II)依題意，知心不與重合，

故不妨設直線方程為： .

因為圓心到直線的距離為.

因為直線和的斜率之積為定值-2，

所以直線的斜率為： ，

同的求解方法，可得，

所以，

化簡得.

考察，

令，得.

由有正數解，且，

得，

解得.

故.

因為當時，可解得，

所以當時， 最小值為.