Question

用符號(hào)[x）表示超過(guò)x的最小整數(shù)，如[π）=4，[-1.5）=-1，記{x}=[x）-x．
（1）若x∈（1，2），則不等式{x}•[x）＜x的解集為

 

；
（2）若x∈（1，3），則方程cos²[x）+sin²{x}-1=0的實(shí)數(shù)解為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：其他不等式的解法,根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：計(jì)算題,新定義

分析：（1）依題意可知，當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，[x）=2，{x}=2-x，原不等式可化為2（2-x）＜x，從而可求得其解集；
（2）對(duì)x分x∈（1，2）與x∈[2，3）討論，利用同角三角函數(shù)間的關(guān)系與二倍角公式，解對(duì)應(yīng)的方程，利用余弦函數(shù)的單調(diào)性即可求得答案．

解答： 解：（1）∵x∈（1，2），
∴[x）=2，{x}=2-x，
∴不等式{x}•[x）＜x?（2-x）×2＜x，
解得：x＞

4

3

，又1＜x＜2，
∴

4

3

＜x＜2，
∴不等式{x}•[x）＜x的解集為{x|

4

3

＜x＜2}．
（2）∵x∈（1，3），
∴當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，[x）=2，{x}=2-x，
∴方程cos²[x）+sin²{x}-1=0?cos²2+sin²（2-x）-1=0，
∴sin²（2-x）=1-cos²2=sin²2，即

1-cos(4-2x)

2

=

1-cos4

2

，
∴cos（4-2x）=cos4=cos（2π-4），
∵x∈（1，2），
∴4-2x∈（0，2），又2π-4∈（2，3），
∴4-x≠2π-4，
∴此時(shí)方程無(wú)解；
當(dāng)x∈[2，3）時(shí)，[x）=3，{x}=3-x，
∴方程cos²[x）+sin²{x}-1=0?cos²3+sin²（3-x）-1=0，
同理可得，cos（6-2x）=cos6=cos（2π-6），
∵當(dāng)x∈[2，3）時(shí)，6-2x∈（0，2]，2π-6∈（0，2），
∴6-2x=2π-6，
解得x=6-π．
∴當(dāng)x∈（1，3）時(shí)，方程cos²[x）+sin²{x}-1=0的實(shí)數(shù)解為6-π．
故答案為：（1）{x|

4

3

＜x＜2}；（2）6-π．

點(diǎn)評(píng)：本題考查根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，考查新定義中不等式的解法，著重考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與分類討論思想、函數(shù)與方程思想的綜合運(yùn)用，屬于難題．