Question

如果函數(shù)f（x）=ax²+2x-3
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）在[-2，2]之間的取值范圍．
（2）若f（x）在區(qū)間（-∞，4）上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=1時(shí)，判斷函數(shù)的對(duì)稱軸，然后求f（x）在[-2，2]之間的取值范圍．
（2）若f（x）在區(qū)間（-∞，4）上單調(diào)遞增，分類討論函數(shù)是一次函數(shù)還是二次函數(shù)，二次函數(shù)的對(duì)稱軸與區(qū)間端點(diǎn)的關(guān)系，從而求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x²+2x-3，
函數(shù)的對(duì)稱軸為x=-1，
∴f（-1）=-4，f（2）=5．
函數(shù)在[-2，2]之間的取值范圍：[-4，5]．
（2）當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)是f（x）=2x-3，f（x）在區(qū)間（-∞，4）上單調(diào)遞增，恒成立；
當(dāng)a≠0時(shí)，函數(shù)是二次函數(shù)，f（x）在區(qū)間（-∞，4）上單調(diào)遞增，
∴a＜0，
函數(shù)的對(duì)稱軸x=-

1

a

，
則-

1

a

≥4解得-

1

4

≤a＜0，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍[-

1

4

，0]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用及分類討論的思想，解題的關(guān)鍵是比較區(qū)間端點(diǎn)與二次函數(shù)的對(duì)稱軸，但是不要漏掉對(duì)一次函數(shù)即a=0時(shí)的考慮．