Question

已知關(guān)于x的方程2x²-（

3

+1）x+m=0的兩根為sinθ和cosθ，θ∈（0，2π）．求：
（1）m的值；
（2）求證：

sin2α

sinα-cosα

+

cos2α

cosα-sinα

=

3 +1

2

．

Answer 1

考點：同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用,三角函數(shù)的化簡求值

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）利用韋達定理表示出sinθ+cosθ與sinθcosθ，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡即可求出m的值；
（2）已知等式左邊變形后，利用同分母分式的減法法則計算，約分后將sinθ+cosθ的值代入得到結(jié)果，與右邊相等得證．

解答： 解：（1）∵方程2x²-（

3

+1）x+m=0的兩根為sinθ和cosθ，θ∈（0，2π），
∴sinθ+cosθ=

3 +1

2

，sinθcosθ=

m

2

，
∵（sinθ+cosθ）²=1+2sinθcosθ，
∴

4+2 3

4

=1+m，
則m=

3

2

；
（2）左邊=

sin2α-cos2α

sinα-cosα

=

(sinα+cosα)(sinα-cosα)

sinα-cosα

=sinα+cosα=

3 +1

2

=右邊，
則

sin2α

sinα-cosα

+

cos2α

cosα-sinα

=

3 +1

2

．

點評：此題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用，以及三角函數(shù)的化簡求值，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．