Question

7．已知函數(shù)f（x）=x²-2lnx．
（1）求證：f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
（2）若f（x）≥2tx-$\frac{1}{{x}^{2}}$在x∈（0，1]內(nèi)恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可求出，
（2）要求若f（x）≥2tx-$\frac{1}{{x}^{2}}$在x∈（0，1]內(nèi)恒成立，即轉(zhuǎn)化為2t≤x+$\frac{1}{{x}^{3}}$-$\frac{2lnx}{x}$在x∈（0，1]內(nèi)恒成立，只需求h（x）=x+$\frac{1}{{x}^{3}}$-$\frac{2lnx}{x}$x∈（0，1]內(nèi)的最小值即可．

解答 解：（1）證明：函數(shù)的定義域為（0，+∞），f′（x）=2x-$\frac{2}{x}$=$\frac{2（x+1）（x-1）}{x}$，
由f′（x）＞0，得x＞1，由f′（x）＜0，得0＜x＜1，
所以，函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增．
（2）由f（x）≥2tx-$\frac{1}{{x}^{2}}$對x∈（0，1]恒成立，得2t≤x+$\frac{1}{{x}^{3}}$-$\frac{2lnx}{x}$．
令h（x）=x+$\frac{1}{{x}^{3}}$-$\frac{2lnx}{x}$，則h′（x）=$\frac{{x}^{4}-2{x}^{2}-3+2{x}^{2}lnx}{{x}^{4}}$，
因為x∈（0，1]，所以x⁴-3＜0，-2x²＜0，
2x²lnx＜0，x⁴＞0，
所以h′（x）＜0，
所以h（x）在（0，1）上為減函數(shù)．
所以當(dāng)x=1時，h（x）=h（x）=x+$\frac{1}{{x}^{3}}$-$\frac{2lnx}{x}$，有最小值2，得2t≤2，
所以t≤1，故t的取值范圍是（-∞，1]．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，以求函數(shù)恒成立問題，屬于中檔題．