Question

設(shè)斜率為k₁的直線l₁與橢圓

x2

2

+y²=1交于不同的A、B兩點(diǎn)，直線y=k₂x與直線l₁的交點(diǎn)為M，（k₁≠k₂，且k₁≠0）．
（Ⅰ）若點(diǎn)M為弦AB的中點(diǎn)，求k₁k₂的值；
（Ⅱ）把題設(shè)中的橢圓一般化為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0，a≠b），其他條件不變
（i）根據(jù)（Ⅰ）的運(yùn)算結(jié)果，寫出一個(gè)關(guān)于k₁k₂的一般性結(jié)論，并判斷與證明它的逆命題是否為真命題；
（ii）根據(jù)以上探究，在雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）中寫出類似結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用點(diǎn)差法能證明k1k2=-

1

2

．
（2）（i）由已知條件推導(dǎo)出k1k2=-

b2

a2

，寫出逆命題，由斜率為k₁的直線l₁與橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1聯(lián)立方程組，由此利用韋達(dá)定理結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式能證明點(diǎn)M為弦AB的中點(diǎn)．
（ii）由以結(jié)論，合理地歸納總結(jié)，尋找規(guī)律，在雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）中能寫出類似結(jié)論．

解答： 解：（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
因?yàn)辄c(diǎn)M為弦AB的中點(diǎn)，則M（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

），
且有

x12

2

+y12=1，

x22

2

+y22=1，
兩式相減得：

(y1-y2)(y1+y2)

(x1-x2)(x1+x2)

=-

1

2

，即k1k2=-

1

2

．
（2）（i）斜率為k₁的直線l₁與橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1交于不同的A、B兩點(diǎn)，
直線y=k₂x與直線l₁的交點(diǎn)為M，（k₁≠k₂，且k₁≠0），
若點(diǎn)M為弦AB的中點(diǎn)，則k1k2=-

b2

a2

，
逆命題：斜率為k₁的直線l₁與橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1交于不同的A、B兩點(diǎn)，
直線y=k₂x與直線l₁的交點(diǎn)為M，（k₁≠k₂，且k₁≠0），
若k1k2=-

b2

a2

，則點(diǎn)M為弦AB的中點(diǎn)．
證明如下：設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立方程

y=kx+m x2 a2 + y2 b2 =1

，得（b²+a²k12）x2+2a2k1mx+a2m2-a2b2=0，
△=4a4k12m2-4(b2+a2k12)(a2m2-a2b2)＞0，
x1+x2=

-2a2k1m

b2+a2k12

，
y1+y2=k1(x1+x2)+2m=

2mb2

b2+a2k12

，
∴弦AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（

-a2k1m

b2+a2k12

，

mb2

b2+a2k12

），
將x=

-a2k1m

b2+a2k12

代入直線l₂：y=k₂x，
得y=

-a2k1k2m

b2+a2k12

，又k1k2=-

b2

a2

，
∴y=

mb2

b2+a2k12

，
即點(diǎn)M為弦AB的中點(diǎn)．
（ii）斜率為k₁的直線l₁與雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1交于不同的A、B兩點(diǎn)，
直線y=k₂x與直線l₁的交點(diǎn)為M，（k₁≠k₂，且k₁≠0），
點(diǎn)M為弦AB的中點(diǎn)的充要條件為k1k2=

b2

a2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩直線的斜率的乘積的求法，考查橢圓和雙曲線中類似結(jié)論的總結(jié)與證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)差法的合理運(yùn)用．