Question

4．已知函數(shù)f（x）=ax³+$\frac{1}{2}$x²-2x+c．
（1）若x=-1是f（x）的極值點且f（x）的圖象過原點，求f（x）的極值；
（2）若g（x）=$\frac{1}{2}$bx²-x+d，在（1）的條件下，是否存在實數(shù)b，使得函數(shù)g（x）的圖象與函數(shù)f（x）的圖象恒有含x=-1的二個不同的交點？若存在，求出實數(shù)b的取值范圍；否則說明理由．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，f′（x）=3ax²+x-2，根據(jù)x=-1是f（x）的極值點，便有f′（-1）=0，這樣可求出a=1，而根據(jù)f（x）的圖象過原點可得出c=0，這樣即可得出f（x）=${x}^{3}+\frac{1}{2}{x}^{2}-2x$，從而求出f（-1）便是f（x）的極值；
（2）根據(jù)題意可知，g（-1）=$\frac{3}{2}$，這樣可得到d=$\frac{1-b}{2}$，并且方程f（x）=g（x）有含x=-1的兩個不同解，這樣即可得到方程${x}^{3}+（\frac{1}{2}-\frac{1}{2}b）{x}^{2}-x+\frac{b-1}{2}=0$，該方程可以設(shè)成$（x+1）（{x}^{2}+ex+\frac{b-1}{2}）=0$，這樣便可以求出$e=-\frac{1+b}{2}$，從而得出方程${x}^{2}-\frac{1+b}{2}x+\frac{b-1}{2}=0$有兩個相等的實數(shù)根，且不是-1，這樣便有△=0，這樣便可求出b的值，也就得到了b的取值范圍．

解答 解：（1）f′（x）=3ax²+x-2；
x=-1是f（x）的極值點；
∴f′（-1）=3a-3=0；
∴a=1；
又f（x）的圖象過原點；
∴c=0；
∴$f（x）={x}^{3}+\frac{1}{2}{x}^{2}-2x$；
∴f（x）的極值為f（-1）=$\frac{3}{2}$；
（2）根據(jù)題意，$g（-1）=\frac{1}{2}b+1+d=\frac{3}{2}$；
∴$d=\frac{1-b}{2}$；
令f（x）=g（x），即${x}^{3}+\frac{1}{2}{x}^{2}-2x=\frac{1}{2}b{x}^{2}-x+\frac{1-b}{2}$；
即${x}^{3}+（\frac{1}{2}-\frac{1}{2}b）{x}^{2}-x+\frac{b-1}{2}=0$，該方程有兩個不同的實數(shù)根，其中一個為-1；
∴該方程可設(shè)成$（x+1）（{x}^{2}+ex+\frac{b-1}{2}）=0$；
展開為：${x}^{3}+（1+e）{x}^{2}+（e+\frac{b-1}{2}）x+\frac{b-1}{2}=0$；
∴$1+e=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}b$；
∴$e=-\frac{1+b}{2}$；
則方程${x}^{2}-\frac{1+b}{2}x+\frac{b-1}{2}=0$有2個相同的實根，且不為-1；
∴$△=（\frac{1+b}{2}）^{2}-2（b-1）=0$，且1$+\frac{1+b}{2}+\frac{b-1}{2}≠0$；
解得b=3；
∴存在實數(shù)b，使得函數(shù)g（x）的圖象與函數(shù)f（x）的圖象恒有含x=-1的二個不同的交點，且實數(shù)b的取值范圍為：{3}．

點評 考查函數(shù)極值點概念，函數(shù)在極值點處導(dǎo)數(shù)的取值情況，函數(shù)圖象上點的坐標滿足函數(shù)解析式，以及兩函數(shù)圖象的交點情況和兩函數(shù)解析式形成的方程解的關(guān)系，一元二次方程的解的情況和判別式△取值的關(guān)系．