Question

12．在銳角三角形 A BC中，tanA=$\frac{1}{2}$，D為邊 BC上的點(diǎn)，△A BD與△ACD的面積分別為2和4．過(guò)D作D E⊥A B于 E，DF⊥AC于F，則$\overrightarrow{{D}{E}}$•$\overrightarrow{DF}$=-$\frac{16}{15}$．

Answer 1

分析 由題意畫(huà)出圖形，結(jié)合面積求出cosA=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$|\overrightarrow{DE}|•|\overrightarrow{DF}|=\frac{8\sqrt{5}}{15}$，然后代入數(shù)量積公式得答案．

解答 解：如圖，

∵△ABD與△ACD的面積分別為2和4，∴$\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{DE}|=2$，$\frac{1}{2}|\overrightarrow{AC}|•|\overrightarrow{DF}|=4$，
可得$|\overrightarrow{DE}|=\frac{4}{|\overrightarrow{AB}|}$，$|\overrightarrow{DF}|=\frac{8}{|\overrightarrow{AC}|}$，∴$|\overrightarrow{DE}|•|\overrightarrow{DF}|=\frac{32}{|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{AC}|}$．
又tanA=$\frac{1}{2}$，∴$\frac{sinA}{cosA}=\frac{1}{2}$，聯(lián)立sin²A+cos²A=1，得$sinA=\frac{\sqrt{5}}{5}$，cosA=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
由$\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{AC}|sinA=6$，得$|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{AC}|=12\sqrt{5}$．
則$|\overrightarrow{DE}|•|\overrightarrow{DF}|=\frac{8\sqrt{5}}{15}$．
∴$\overrightarrow{{D}{E}}$•$\overrightarrow{DF}$=$|\overrightarrow{DE}|•|\overrightarrow{DF}|cos＜\overrightarrow{DE}，\overrightarrow{DF}＞$=$\frac{8\sqrt{5}}{15}×（-\frac{2\sqrt{5}}{5}）=-\frac{16}{15}$．
故答案為：$-\frac{16}{15}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與求值，是中檔題．