Question

（理科）已知函數(shù)f（x）=alnx+x²（a為常數(shù)）．
（1）若a≥-2，求函數(shù)f（x）在[1，e]上的最小值及相應(yīng)的x值；
（2）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）首先求出f′(x)=

2x2+a

x

(x＞0)，當(dāng)f（x）≤（a+2）x時(shí)，2x²+a∈[a+2，a+2e²]，若a≥-2，判斷出f′（x）在[1，e]上非負(fù)，故函數(shù)f（x）在[1，e]上是增函數(shù)，求出最小值以及相應(yīng)的x值即可；
（2）先設(shè)函數(shù)g（x）=

x2-2x

x-lnx

（x∈[1，e]），可得g′（x）=

(x-1)(x+2-2lnx)

(x-lnx)2

，當(dāng)x∈[1，e]，時(shí)，x-1≥0，lnx≤1，x+2-2lnx＞0，從而g′（x）≥0（僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)），所以g（x）在[1，e]上為增函數(shù)，求出g（x）的最小值，進(jìn)而求出實(shí)數(shù)a的取值范圍即可．

解答： 解：（1）f′(x)=

2x2+a

x

(x＞0)，
當(dāng)f（x）≤（a+2）x時(shí)，2x²+a∈[a+2，a+2e²]，
若a≥-2，f′（x）在[1，e]上非負(fù)（僅當(dāng)a=-2，x=1時(shí)，f′（x）=0），
故函數(shù)f（x）在[1，e]上是增函數(shù)，
此時(shí)[f（x）]_min=f（1）=1；
（2）不等式f（x）≤（a+2）x，可化為a（x-lnx）≥x²-2x，
∵x∈[1，e]，
∴l(xiāng)nx≤1≤x，且等號(hào)不能同時(shí)取，
所以lnx＜x，即x-lnx＞0，
因而a≥

x2-2x

x-lnx

（x∈[1，e]），
令g（x）=

x2-2x

x-lnx

（x∈[1，e]），
可得g′（x）=

(x-1)(x+2-2lnx)

(x-lnx)2

，
當(dāng)x∈[1，e]，時(shí)，x-1≥0，lnx≤1，x+2-2lnx＞0，
從而g′（x）≥0（僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)），
所以g（x）在[1，e]上為增函數(shù)，
故g（x）的最小值為g（1）=-1，
所以a的取值范圍是[-1，+∞]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，以及求參數(shù)的范圍，屬于中檔題．