Question

四棱錐A-BCDE中，AD=

1

2

AE，二面角A-DE-B成直二面角，∠DBC=∠DAE=60°，AD=1．
（Ⅰ）求證：AD⊥平面BCED；
（Ⅱ）若BD⊥AC，平面ABC與平面BCD所成的角為30°，求三棱錐A-BCD的體積V．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）取AE的中點(diǎn)F，由已知得△ADF是等邊三角形，從而AD⊥DE，由此能證明AD⊥平面BCED．
（Ⅱ）作DG⊥BC于G，連結(jié)AG，由三垂直線定理，得AG⊥BC，從而∠AGB就是AG與面BCD所成的角，由此能求出三棱錐A-BCD的體積．

解答： （Ⅰ）證明：取AE的中點(diǎn)F，∵四棱錐A-BCDE中，AD=

1

2

AE，∠DBC=∠DAE=60°，
∴△ADF是等邊三角形，
∴DF=AF=EF=

1

2

AE，∴AD⊥DE，
又面ADE⊥面BCED，
∴AD⊥平面BCED．
（Ⅱ）解：作DG⊥BC于G，連結(jié)AG，
由三垂直線定理，得AG⊥BC，
∴∠AGB就是AG與面BCD所成的角，
∵BD⊥AD，BD⊥AC，
∴BD⊥DC，
Rt△ADG中，DG=

3

，
Rt△BGD中，BD=2，
Rt△BDC中，DC=2

3

，
∴三棱錐A-BCD的體積V=

1

3

×

1

2

×2×2

3

×1=

2 3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．