Question

【題目】已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為，過橢圓C上一點(diǎn)P（2，1）作x軸的垂線，垂足為Q．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）過點(diǎn)Q的直線l交橢圓C于點(diǎn)A，B，且3+=，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）y=±（x﹣2）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為，由題意得，，解出求出 、的值即可得出橢圓的方程；（Ⅱ）由題意得點(diǎn)，設(shè)直線方程為，將直線，代入橢圓方程得到，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系列方程即可得出 的值，從而可求得直線方程．

試題解析：（Ⅰ）設(shè)橢圓C的方程為+=1（a＞b＞0），

由題意得=， +=1，a2=b2+c2．

解得a2=6，b2=c2=3，則橢圓C： ==1．

（Ⅱ）由題意得點(diǎn)Q（2，0），

設(shè)直線方程為x=ty+2（t≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），

則=（x1﹣2，y1），=（x2﹣2，y2），

由3+=，得3y1+y2=0，

y1+y2=﹣2y1，y1y2=﹣3，得到=﹣（*）

將直線x=ty+2（t≠0），代入橢圓方程得到（2+t2）y2+4ty﹣2=0，

∴y1+y2=，y1y2=，代入（*）式，解得：t2=，

∴直線l的方程為：y=±（x﹣2）．

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查待定系數(shù)求橢圓方程以及直線與橢圓的位置關(guān)系和平面向量的線性運(yùn)算，屬于難題.用待定系數(shù)法求橢圓方程的一般步驟；①作判斷：根據(jù)條件判斷橢圓的焦點(diǎn)在軸上，還是在軸上，還是兩個(gè)坐標(biāo)軸都有可能；②設(shè)方程：根據(jù)上述判斷設(shè)方程或 ；③找關(guān)系：根據(jù)已知條件，建立關(guān)于、、的方程組；④得方程：解方程組，將解代入所設(shè)方程，即為所求.