Question

14．已知函數(shù)f（x）=（x-1）e^x-kx²，（x＞0）
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）-$\frac{1}{3}$kx³+kx²在（0，2）內(nèi)有兩個極值點，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，對k討論，分k≤0，0＜k≤$\frac{1}{2}$，k＞$\frac{1}{2}$，通過導(dǎo)數(shù)的符號判斷單調(diào)性，即可得到單調(diào)區(qū)間；
（2）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，由題意可得g′（x）=0在（0，2）內(nèi)有兩個不相等的實數(shù)根，即有y=k和y=$\frac{{e}^{x}}{x}$在（0，2）內(nèi)有兩個交點，求出y=$\frac{{e}^{x}}{x}$的導(dǎo)數(shù)和最值，即可得到k的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=（x-1）e^x-kx²，（x＞0）的導(dǎo)數(shù)為
f′（x）=xe^x-2kx=x（e^x-2k），
由x＞0可得e^x＞1，
①當2k≤0，即k≤0時，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）遞增；
②當0＜2k≤1時，即0＜k≤$\frac{1}{2}$，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）遞增；
③當2k＞1時，即k＞$\frac{1}{2}$，由f′（x）＞0可得x＞ln（2k），
由f′（x）＜0可得0＜x＜ln（2k），
即有f（x）在（0，ln（2k））遞減，在（ln（2k），+∞）遞增；
（2）函數(shù)g（x）=f（x）-$\frac{1}{3}$kx³+kx²=（x-1）e^x-$\frac{1}{3}$kx³，
導(dǎo)數(shù)g′（x）=xe^x-kx²=x（e^x-kx），
由題意可得，g′（x）=0在（0，2）內(nèi)有兩個不相等的實數(shù)根，
即有y=k和y=$\frac{{e}^{x}}{x}$在（0，2）內(nèi)有兩個交點，
由于y=$\frac{{e}^{x}}{x}$的導(dǎo)數(shù)為y′=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$，在（0，1）內(nèi)y′＜0，函數(shù)遞減，
在（1，+∞）內(nèi)y′＞0，函數(shù)遞增．
即有x=1處函數(shù)y取得最小值，且為e，
當x→0，y→+∞，x→2，y→$\frac{{e}^{2}}{2}$，
即有e＜k＜$\frac{{e}^{2}}{2}$，
則有k的取值范圍是（e，$\frac{{e}^{2}}{2}$）．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求單調(diào)區(qū)間和極值，考查分類討論的思想方法，以及函數(shù)和方程的轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題和易錯題．