Question

4．如圖，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱長(zhǎng)均為4，E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在側(cè)棱CC₁上，且CC₁=4CF
（Ⅰ）求證：EF⊥A₁C；
（Ⅱ）求點(diǎn)C到平面AEF的距離．

Answer 1

分析 （I）過(guò)E作EN⊥AC于N，連結(jié)EF、NF、AC₁，通過(guò)直棱柱的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)、線面垂直的判定定理即得結(jié)論；
（II）設(shè)點(diǎn)C到平面AEF的距離為d，利用V_{三棱錐C-AEF}=V_{三棱錐F-AEC}計(jì)算即可．

解答 解：過(guò)E作EN⊥AC于N，連結(jié)EF．
（I）連結(jié)NF、AC₁，由直棱柱的性質(zhì)知，
底面ABC⊥側(cè)面A₁C，所以EN⊥側(cè)面A₁C，
所以NF⊥A₁C，
在Rt△CNE中，CN=CEcos60°=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{1}{2}$=1，
又∵CC₁=4CF，∴$\frac{CN}{CA}=\frac{CF}{C{C}_{1}}$，
∴NF∥AC₁，
又AC₁⊥A₁C，故NF⊥AC₁，A₁C⊥平面NEF，
所以 EF⊥A₁C；
（II）設(shè)點(diǎn)C到平面AEF的距離為d，
則V_{三棱錐C-AEF}=V_{三棱錐F-AEC}，
即$\frac{1}{3}•$S_△AEF•d=$\frac{1}{3}•$S_△AEC•CF，
所以d=$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的判定，線線垂直的判定，考查棱錐的體積公式，從不同角度利用棱錐的體積公式是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．