Question

19．已知函數(shù)f（x）=（2x-4a）lnx+x，a＞0
（Ⅰ）求函數(shù)g（x）=xf（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若?x∈[1，+∞），不等式f（x）＞0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，對(duì)a討論，①若0＜a＜$\frac{1}{e}$，②若a=$\frac{1}{e}$，③若a＞$\frac{1}{e}$，由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間，由導(dǎo)數(shù)小于0，得減區(qū)間；
（Ⅱ）運(yùn)用不等式恒成立的思想，對(duì)a討論，求出f（x）的最小值即可得到a的范圍．

解答 解：（1）g′（x）=$\frac{1}{x}$（2x²-4ax）+lnx（4x-4a）+2x
=4x-4a+lnx（4x-4a）=4（x-a）（lnx+1），（x＞0）．
①若0＜a＜$\frac{1}{e}$，當(dāng)x∈（0，a），x∈（$\frac{1}{e}$，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（a，$\frac{1}{e}$）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，a），（$\frac{1}{e}$，+∞）；單調(diào)遞減區(qū)間是（a $\frac{1}{e}$）．
②若a=$\frac{1}{e}$，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
③若a＞$\frac{1}{e}$，當(dāng)x∈（0，$\frac{1}{e}$），x∈（a，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（$\frac{1}{e}$，a）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，$\frac{1}{e}$），（a，+∞）；
單調(diào)遞減區(qū)間是（$\frac{1}{e}$，a）
（Ⅱ）因?yàn)閤≥1，（2x²-4ax）lnx+x²＞0對(duì)x≥1恒成立，
由（Ⅰ）可知，當(dāng)0＜a≤$\frac{1}{e}$時(shí)，f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，則f（x）_min=f（1）＞0，成立，
故0＜a≤$\frac{1}{e}$．
當(dāng)$\frac{1}{e}$＜a≤1，則f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，f（x）_min=f（1）=1＞0恒成立，符合要求．
當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）在（1，a）上單調(diào)遞減，（a，+∞）上單調(diào)遞增，則
f（x）_min=f（a）＞0，即（2a²-4a²）lna+a²＞0，1＜a＜$\sqrt{e}$．
綜上所述，0＜a＜$\sqrt{e}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和單調(diào)性的判斷，同時(shí)考查函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，運(yùn)用分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．